Triangeluen alde eta angeluen arteko erlazioa aztertzen duen matematikaren atala da trigonometria. Bi adar nagusi ditu: planoko trigonometria eta trigonometria esferikoa. Lehenengoak planoko triangeluen azterketa egiten du; bigarrenak, berriz, triangelu esferikoena, hau da, esferaren hiru zirkulu nagusiren ebakiduraren ondorioz sortutakoena.

Trigonometria funtsezkoa da, bai matematikaren beste ataletan, bai eta zientziaren beste hainbat arlotan ere, adibidez, astronomian, geodesian, fisikan, nabigazioan...

Helburu nagusitzat triangeluen ebazpena du, hau da, triangeluaren alde edo angelu batzuen balioa jakinik, gainerako neurriak kalkulatzea. Horretarako, planoko trigonometrian, arrazoi trigonometrikoak eta haien arteko erlazioak erabiltzen dira.

Arrazoi trigonometrikoak

Triangeluaren alde eta angeluen arteko erlazio ezberdinak adierazten dituzten zenbakizko balioak dira; garrantzitsuenak sinua, kosinua eta tangentea dira. Azken horien definizioa emateko, har dezagun α angelua duen triangelu zuzena eta izan bitez a α angeluaren aurkako katetoaren neurria, b alboko katetoarena eta c hipotenusarena. Orduan:

α angeluko triangelu zuzena

• α angeluaren sinu (sin α) aurkako katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidurari deritzo.

• α angeluaren kosinu (cos α) alboko katetoaren eta hipotenusaren luzeren arteko zatidurari deritzo.

• α angeluaren tangente (tan α) aurkako eta alboko katetoen luzeren arteko zatidurari deritzo.

Hau da,

sin α = a/c, cos α = b/c eta tan α = a/b.

Talesen teoremari esker, jakina da aurreko erlazioak α angeluari lotutako balio finkoak direla, triangeluaren tamaina zein ere den, hau da, α angeluko triangelu zuzen guztietan sin α, cos α eta tan α erlazioek balio bera ematen dutela.

Ohartu definitu berri ditugun arrazoi trigonometrikoek oinarrizko erlazio hauek betetzen dituztela (bigarrena Pitagorasen teoremaren ondorioa da):

$\text{tan} \alpha =\text{sin }\alpha \text{/cos }\alpha$ , ${\text{sin}}^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1$.

Alderantzizko arrazoi trigonometrikoei α angeluaren kosekante, sekante eta kotangente deritze:

$\text{cosec} \alpha =c/a=1\text{/sin} \mathrm{\alpha ,}$ $\text{sec} \alpha =c/b=1\text{/cos} \mathrm{\alpha ,}$ $\text{cot} \alpha =b/a=1\text{/tan} \mathrm{\alpha .}$

Triangeluen angeluen batura 180° (π radian) izanik, definitutako arrazoi trigonometrikoek 0° < α < 90° (0 < α < π /2) moduko angeluetarako soilik dute zentzua. Edozein α angeluren arrazoi trigonometrikoak definitzeko (0° ≤ α ≤ 360°), prozedura hau erabiltzen da: α angelua koordenatu-jatorrian zentratutako eta bat erradioko zirkunferentziaren gainean eraikitzen da; horretarako, OX ardatzaren alde positibotik abiatuta erlojuaren orratzen kontrako noranzkoa jarraituz (ikus hurrengo irudia). Angeluak zirkunferentziaren gaineko P puntua zehazten du. Puntu horren koordenatuen balioak dira, hain zuzen ere, α angeluaren kosinua eta sinuaren definizioa, hurrenez hurren; hau da, P (x0, y0) puntua bada, cos α = x0 eta sin α = y0 dira. Tangentea oraingoan ere sinu eta kosinuaren arteko zatidura gisa definitzen da.

α angeluaren arrazoi trigonometrikoak

Nabaria da kasu honetan ere ${\text{sin}}^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1$ erlazioa betetzen dela.

Arrazoi trigonometrikoetatik abiatuz, funtzio trigonometrikoak lortzen dira. Horretarako arrazoi trigonometrikoak α edozein zenbaki erreal den kasurako orokortu behar dira. Hori egiteko, arau sinple hau jarraitzea besterik ez dago: angelua radianetan neurtuta dagoela suposatuta, bi zenbaki errealen arteko diferentzia 2πk bada, k zenbaki osoa izanik, orduan sinu, kosinu eta tangente bera dagokie. Beraz, arrazoi trigonometrikoen balioak [0,2π) tartean ezagututa, edozein zenbaki errealen sinu, kosinu eta tangentea eraiki daitezke. Horrela lortzen dira y = sin α,  y = cos α  eta  y = tan α  funtzio periodikoak.

Funtzio trigonometrikoen adierazpen grafikoa: y = sin α (gorriz), y = cos α (berdez), y = tan α (urdinez)

Angelua zenbaki positibo edo negatiboa izateak badu interpretazio geometrikoa: angelu positiboak erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan eraikitakoak dira; angelu negatiboak, berriz, orratzen noranzkoa jarraitzen dutenak.

Urte askoan zehar, funtzio trigonometrikoen balioen taulak oso erabilgarri gertatu ziren kalkulagailu eta ordenagailuen agerpenak taula horiek zaharkituta utzi zituen arte. Hona hemen zenbait angelu garrantzitsuren arrazoi trigonometrikoen balioak:

Triangeluen ebazpena

Arrazoi trigonometrikoei esker, triangelu bat guztiz zehaztuta geratzeko, ez da beharrezkoa hiru aldeak eta hiru angeluak aldez aurretik ezagunak izatea. Sei datu horietatik hiru izatearekin nahikoa da, baldin eta datuetako bat alderen baten neurria bada. Gainontzeko datuak arrazoi trigonometrikoen laguntzaz lortzen dira, funtsezko bi erregela erabiliz: sinuaren teorema eta kosinuaren teorema. Sinuaren teoremaren arabera, edozein triangelutan, alde bakoitzaren eta horren kontrako angeluaren sinuaren arteko zatidura konstante mantentzen da. Kosinuaren teorema Pitagorasen teoremaren orokorpena da zuzenak ez diren triangeluetarako.

Har ditzagun a, b, c aldeak eta A, B, C barruko angeluak dituen triangelua (letra bereko angelua eta aldea kontrakoak dira). Aurreko bi erregelen adierazpen matematikoa hau da:

• Sinuaren teorema: $a\text{/sin }A=b\text{/sin }B=c\text{/sin }C$

• Kosinuaren teorema: $a^2=b^2+c^2-2\text{bc}\text{cos }A$; $b^2=a^2+c^2-2\text{ac}\text{cos }B$; $c^2=a^2+b^2-2\text{ab}\text{cos }C$

Triangelu orokorra

Planoko trigonometriaren formula gehienek badute antzeko adierazpena trigonometria esferikoan, esaterako, badago sinuaren eta kosinuaren teorema esferikoa.