Topologia hitza antzinako grekotik dator. Topos lekua da eta logos, zientzia, estudioa. Etimologikoki, beraz, "lekuaren estudioa" litzateke, eta hasieran geometriaren inguruko problemak tratatzen zirela esateak zerbait argituko luke izenaren zergatia.

Nozioaren definizioa ematean, egitura espaziala deskribatzen duela esango du norbaitek; beste batek, aldiz, bijekzio birjarraituez (jarraitua aplikazioa eta jarraitua alderantzizkoa), hau da, homeomorfismoz aldatzen ez diren propietateen estudioa dela; azkenik, limitea eta jarraitutasuna aztertzen dituen matematikaren adarra dela ere ikus daiteke nonbait. Dena dela, definizioak ez dira sekulan gogobetekoak izaten.

Topologia geometria-mota bat da, zentzu batean geometria kualitatiboa dela esan genezake. Normalean, geometria hitza aipatzen denean, luzerak, azalerak, bolumenak eta angeluak nola neurtzen diren etortzen zaigu burura. Baina topologian garrantzitsuak diren propietateak ez dira propietate kuantitatibo horiek, beste propietate kualitatibo hauek baizik:

• Objektua zati bakar batekoa ala zenbait zatiz osaturikoa da?

• Zulorik al du?

• Zein da zati ezberdinen arteko konexioa?

Propietate horien guztien ezaugarri komuna da kizkurtze eta tenkadekiko aldaezin mantentzen direla; beraz, propietate topologikoak direla esango dugu.

Adibidez, hiri baten metro-planoa egitean ez zaio garrantzi handirik ematen geltokien arteko distantziari edota norabide-aldaketei. Benetan interesatzen den informazioa geltokien arteko posizio erlatiboa da. Ikuspuntu horretatik, horrelakoak mapa “topologikoak” direla esan genezake.

Aurrekoa bezalako problemak aztertzean, hau da, objektuen forma zehatzak garrantzirik ez duenean, oso argi izan behar da zein diren benetan garrantzitsuak diren propietateak. Hori dela eta, hain zuzen ere, sortu zen baliokidetasun topologikoaren beharra. Formalki, bi espazio topologikoki baliokideak dira, baldin eta haien artean homeomorfismoa badago. Kasu horretan, bi espazioak homeomorfoak direla esaten da, eta, topologiaren ikuspuntutik, bereizezinak dira. Ohiko hitzetan esanda, bi espazio topologikoki baliokideak dira, baldin eta bata bestearen forma lortu arte deforma badaitezke zatirik banandu eta itsatsi gabe.

Historia

Historikoki, Johann Benedict Listingek erabili zuen lehenengo aldiz, 1836an, Topologie hitza (alemanez), bere irakasle bati idatzitako eskutitz batean, eta, geroago, 1847an argitaratutako Vorstudien zur Topologie izeneko liburuan.

Hala ere, 100 urte lehenago, 1736. urtean, hain zuzen ere, Leonhard Euler (1707-1783) matematikari suitzarrak Solutio problematis ad geometrian situs pertinentis izenburuko lana argitaratu zuen. Lan horretan, Königsbergeko zubien problemaren soluzioa azaltzen zuen.

Königsbergeko zubiak

Königsberg hirian (Errusiako Kaliningrad gaur egun), Eulerren garaian, zazpi zubi zeuden, eta ibaiaren ertzak eta bi irlak lotzen zituzten (hurrengo irudian ikusten den bezala). Jendeak galdetzen zuen ea posible izango ote zen zubi bakoitzetik behin eta behin bakarrik igarotzen zen ibilbiderik aurkitzea. Eulerrek frogatu zuen horrelakorik ezin zela aurkitu. Lanaren izenburuan jadanik adierazi zuen geometria-mota ezberdin bat erabiltzen ari zela, non distantziak ez zuen inolako garrantzirik. Emaitza hori ez da aldatzen, zubien luzerak edota beren arteko distantziak aldatzen badira, benetan garrantzizkoak diren datu bakarrak zubien arteko kokapenak dira. Bere oroimenez, gaur egun, grafo eulertar deritze era horretako ibilbideei.

Königsbergeko zubiak eta horiekin erlazionatutako grafoa

Askotan esaten da Eulerren artikulua topologiaren abiapuntua dela. Hala ere, oso arbitrarioa izango litzateke topologiaren hasiera-data momentu horretan jartzea. Argi dago problema ebazteko modua topologikoa dela, baina benetako lehenengo ideia topologikoak konbergentziaren nozioarekin eta espazio metriko baten osotasunarekin agertu ziren XIX. mendearen bukaeran eta XX. mendearen hasieran.

Gaur egungo topologia Georg Cantorrek (1845-1918) XIX. mendearen bukaeran garatutako multzoen teoriaren ideietan oinarritzen da. Cantor, multzo-teoriaren hastapenak finkatzeaz gain, espazio euklidearraren azpimultzoak aztertzen hasi zen Fourierren serieak ikertzean.

1895. urtean, Henri Poincarék (1854-1912), Analysis Situs izeneko liburuan, homotopia eta homologiaren nozioak sartu zituen. Hori dela eta, topologia aljebraikoaren fundatzailetzat hartu izan da.

Maurice Fréchetek (1878-1973) Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli eta beste batzuen lanak bateratu zituen, eta 1906an espazio metrikoaren nozioa sartu zuen.

Espazio topologikoaren kontzeptuaren formalizazioa Felix Hausdorff (1868-1942) matematikari alemaniarrak egin zuen 1914. urtean. Gaur egun, kontzeptu hori Hausdorffen espazio gisa da ezaguna. Oraingo espazio topologikoaren kontzeptua zertxobait orokorragoa da, eta Kazimierz Kuratowski (1896-1980) matematikari poloniarrak finkatu zuen 1922. urtean.

Definizio matematikoa

Matematikaren adar baten izena izateaz gain, topologia hitza adar horren oinarrizko nozioa adierazteko ere erabiltzen da.

Izan bedi X multzo eta ℘(X) X-ren azpimultzoen familia. τ ⊆ ℘(X) X-ren gainean definitutako topologia dela esango dugu, baldin eta hiru axioma hauek betetzen baditu:

1. Ø eta X τ-ren elementuak dira.

2. τ-ren elementuen edozein familia finituren ebakidura τ-n dago.

3. τ-ren elementuen edozein familiaren bildura τ-n dago.

X-ren gainean definitutako topologia emanda, (X, τ) bikoteari espazio topologiko deritzo. Topologiaren elementuak azpimultzo irekiak izango dira. X-ren azpimultzo bat itxia dela esango dugu, baldin eta bere osagarria irekia bada.

Bi espazio topologikoren arteko aplikazio bat jarraitua da, baldin eta edozein irekiren aurreirudia irekia bada. Definizio horrek analisi matematikokoa orokortzen du. Aplikazio jarraitua bijektiboa bada eta haren alderantzizko aplikazioa ere jarraitua bada, orduan homeomorfismoa dela esaten da, eta bi espazio topologikoak homeomorfoak direla. Bi espazio topologiko homeomorfoak badira, propietate topologiko berdinak dituzte, eta topologiaren ikuspuntutik bereizezinak dira.

Topologiaren adarrak

Espazio topologikoaren nozioa oinarrizkoa da gaur egungo matematikan, eta matematikaren adar oso ezberdinen arteko lotura da. Baina topologia bera matematikaren adar oso zabala da. Hiru arlo nagusi ditu:

Topologia orokorra

Topologiako arlo guztien oinarria da. Espazio topologikoetatik eta haien gainean definitutako oinarrizko nozioetatik abiatuz, trinkotasuna eta konexutasuna aztertzen ditu, besteak beste. Horrez gain, topologia orokorrean espazio topologikoen arteko aplikazioak sailkatzen dira jarraitutasuna, homeomorfismoa, aplikazio propioak eta antzeko nozioak erabiliz.

Topologia aljebraikoa

Arlo honetan, aljebra abstraktuaren tresnak erabiltzen dira espazio topologikoak aztertzeko. Adibide bat oinarrizko taldea funktorea da, espazio topologiko bidez konexu bakoitzari talde bat lotzen diona. Homotopia, homologia eta antzeko nozioak aztertzen ditu.

Topologia diferentziala

Era konkretu bateko espazio topologikoen propietateak aztertzen ditu: barietate diferentziagarriak. Geometria diferentzialaren arlo auzokidea da. Teoria honen aplikazioen artean, Gauss-Boneten teorema, Morseren teoria eta Hopfen indizea ditugu.