Oinarrizko kontzeptuak

Definizioa $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ itxurako adierazpena, non $n$  zenbaki arrunt bat eta $a_0,a_1,\dots a_{n-1},a_n$ $𝕂$ gorputz baten elementuak diren, $𝕂$ gorputzaren gaineko $x$ ezezaguneko polinomio deritzo.

$a_0,a_1,\dots a_{n-1},a_n$ elementuak polinomioaren koefizienteak dira; $a_0$ koefizientea polinomioaren gai askea da.

Definizioa

1. $a_i{x}^i$ batugai bakoitzari monomio deitzen zaio.

2. $a_n\ne 0$ bada , $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ polinomioaren maila $n$ da, eta $d\left(P\right)$ idatziko dugu.

3. Polinomio baten koefiziente guztiak 0 badira, polinomio nulua da, eta 0 idatziko dugu. Polinomio nuluak ez du mailarik, edo bere maila $-\infty$ da.

4. $n$ mailako polinomio bati moniko deritzo $a_n=1$ bada.

5. $𝕂$ gorputzaren gaineko $x$ ezezaguneko polinomio guztien multzoa $𝕂\left[x\right]$ adierazten da.

6. $x$ ezezagunari $𝕂$ gorputzaren balioak ematen badizkiogu, $𝕂$ gorputzetik $𝕂$ gorputzera doan $P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ funtzio polinomiala lortuko dugu.

   $P$ polinomio batean, $x$ ezezagunari $\lambda \in 𝕂$ balioa ematen diogunean, lortzen den emaitzari $P$ polinomioaren zenbakizko balio esango diogu eta $P\left(\lambda \right)$ idatziko dugu:

   $P\left(\lambda \right)=a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$

7. $\alpha \in 𝕂$ zenbakia polinomio baten erro edo zero bat da, $x$ ezezagunari α balioa ematean funtzio polinomialak 0 balioa hartzen badu, hau da, zenbakizko balioa $P\left(\alpha \right)=0$ denean.

Polinomioen multzoaren egitura

Polinomioekin, zenbakiekin bezala, eragiketak defini ditzakegu. Esaterako, batuketa eta biderketa honela definituko ditugu:

Definizioa $P,Q\in 𝕂[x]$ bi polinomio badira,

$P+Q$ batura kalkulatzeko, maila bereko monomioen koefizienteak batzen dira.

$P\cdot Q$ biderkadura lortzeko, polinomio baten monomio guztiak beste polinomioaren monomio guztiekin biderkatzen dira, eta maila bereko monomioen koefizienteak batzen dira.

Adibidea Har ditzagun bi polinomio hauek: $P=x^3+3x+4$   eta $Q=-3x^2+x+\mathrm{2;}$ batura eta biderkadura kalkulatuko ditugu:

$P+Q=\left(1+0\right)x^3+\left(0-3\right)x^2+\left(3+1\right)x+\left(4+2\right)=x^3-3x^2+4x+6.$

Biderketa egitean $x^p\cdot x^q=x^{p+q}$ berdintza izango dugu kontuan.

$P\cdot Q=\left(x^3+3x+4\right)\left(-3x^2+x+2\right)=-3x^5+x^4+2x^3-9x^3+3x^2+6x-12x^2+4x+8=$ $=-3x^5+x^4-7x^3-9x^2+10x+8$

Definizioen arabera, maila handieneko polinomioaren maila baino txikiagoa edo berdina da batura polinomioaren maila, hau da, $d\left(P+Q\right)\le \max \{d\left(P\right),d\left(Q\right)\};$eta biderkadura polinomioaren maila polinomioen mailen batura da, hau da, $d\left(P\cdot Q\right)=d\left(P\right)+d\left(Q\right)$. Adibidean egiazta daiteke hori: baturaren maila 3 da, eta biderkaduraren maila 5.

Teorema $𝕂\left[x\right]$ multzoak, polinomioen arteko $+$ batuketarekin eta $-$ biderketarekin, osotasun-eremua osatzen du.

Polinomioen arteko zatigarritasuna

$\left(𝕂\left[x\right],+,\cdot \right)$ osotasun-eremuan zatiketa euklidearra defini daiteke, zenbaki osoen multzoan bezala. Zatiketa ez da beti zehatza izango; zehatza denean, ez dugu hondarrik izango edo hondarra polinomio nulua izango da; baina, zehatza ez denean, hondar ez-nulua izango dugu.

Definizioa $Q$ polinomioak $P$ polinomioa zatitzen du $Z\in 𝕂[x]$ polinomio bat existitzen bada, non $P=Z\cdot Q$ den.

Polinomioen arteko zatiketa zehatza ez denean, teorema hau daukagu:

Teorema $P,Q\in 𝕂[x]$ polinomioak emanik eta $Q\ne 0$ izanik,

$\exists |$ $Z\in 𝕂[x]$   $\exists |$ $H\in 𝕂[x]$ , non $P=ZQ+H$ den,

eta $d\left(H\right)<d\left(Q\right)$ edo $H=0$ izanik.

$Z$ zatidura da, $H$ hondarra, $P$ zatikizuna eta $Q$ zatitzailea.

Teorema Hondarraren teorema

$P$ polinomio baten eta $x-a$ binomioaren arteko zatiketaren hondarra $P$ polinomioaren $P\left(a\right)$ zenbakizko balioa da.

Adibidea Har ditzagun $P=x^3+3x+4$ eta $Q=x+2$ polinomioak. $P$ zati $Q$ egitean, $Z=x^2-2x+7$ zatidura eta $H=-10$ hondarra lortzen ditugu. Beraz, berdintza hau dugu:

$x^3+3x+4=\left(x^2-2x+7\right)\left(x+2\right)-10$

$P$ polinomioaren zenbakizko balioa kalkulatzen badugu $x=-2$ denean:

$P\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3+3\left(-2\right)+4=-8-6+4=-10$

Teorema $\alpha \in 𝕂$ zenbakia $P\in 𝕂[x]$ polinomioaren erroa bada, $\left(x-\alpha \right)$ faktoreak $P$ polinomioa zatitzen du.

Beraz, $Q\in 𝕂[x]$ polinomioa existitzen da, non $P=\left(x-\alpha \right)Q$ den.

Gerta daiteke $\alpha \in 𝕂$ zenbakia $Q$ polinomioaren erroa ere izatea; beraz, $\left(x-\alpha \right)$ faktorea $Q$ polinomioaren zatitzailea izango litzateke, hau da, ${\left(x-\alpha \right)}^2$ faktorea $P$ polinomioaren zatitzailea izango litzateke. Orduan, $\alpha$ $p$ polinomioaren 2 anizkoiztasuneko erroa edo zeroa dela esango genuke. Oro har, beraz, definizio hau eman dezakegu:

Definizioa $\alpha \in 𝕂$ zenbakia $P$ polinomioaren $k$ anizkoiztasuneko erroa edo $k$ ordenako erro anizkoitza da, ${\left(x-\alpha \right)}^k$ faktorea $P$ polinomioaren zatitzailea denean, baina, ${\left(x-\alpha \right)}^{k+1}$ faktorea ez denean $P$ polinomioaren zatitzailea da.

Teorema Aljebraren oinarrizko teorema

$ℂ\left[x\right]$ multzoan, $n\ge 1$ mailako ezezagun bateko polinomio orok badu gutxienez erro konplexu bat.

Teorema horretatik, ondorio hau atera dezakegu:

Korolarioa $ℂ\left[x\right]$ multzoan, $n$ mailako polinomio batek zehazki $n$ erro konplexu dauzka.

Gorago adierazi denez, $\alpha$ polinomio baten erroa bada, $\left(x-\alpha \right)$ binomioak polinomioa zatitzen du; $n$ mailako polinomioak $n$   erro dituenez, polinomioa lehen mailako $n$ binomioz da zatigarria. Ideia hori teorema honetan jasotzen dugu:

Teorema $ℂ\left[x\right]$ multzoan, $n$ mailako polinomio oro $x^n$ berreturaren koefizientearen eta $\left(x-\alpha \right)$ itxurako $n$ faktore linealen arteko biderketan deskonposa daiteke.

Hau da, $P=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ bada, $P$ polinomioaren faktorizazioa honela idatz dezakegu:

$P=a_n\left(x-{\alpha }_1\right)\left(x-{\alpha }_2\right)\cdots (x-{\alpha }_n).$

Faktorizazio hori bakarra da, faktoreen ordena ez badugu kontuan hartzen eta faktore guztiak monikoak badira.

Definizioa $n\ge 1$ mailako $P$ polinomio bat laburgarria da maila txikiagoko polinomioen biderketa gisa adieraz badaiteke.

Hori ezin denean egin, $P$ polinomioa laburtezina dela esango dugu.

Ohar gaitezen $0$ mailako polinomioak, konstante ez-nuluak, ez direla kontuan hartzen aurreko definizioan.

Adibideak

1. Lehen mailako polinomioak laburtezinak dira.

2. Aurreko adibidean, $R=-3x^5+x^4-7x^3-9x^2+10x+8$ polinomioa lortu dugu bi polinomioren biderkadura gisa; beraz, $R$ polinomioa laburgarria da: $R=P\cdot Q$

$n$ mailako $P$ polinomioa laburgarria denean, $P=P_1{P}_2$ idatz dezakegu, non $P_1$ eta $P_2$ $n$ baino maila txikiagoko polinomioak diren. Orain, $P_1$ edo $P_2$ polinomioak ere laburgarriak izan daitezke; orduan, bi polinomioren biderketa gisa idatz genitzake. Horrela, gehienez $n$ polinomio lor ditzakegu, guztien biderkadura $P$ izanik. Faktorizazio hori koefizienteen $𝕂$ gorputzaren arabera egin behar da.

Adibidea

1. $𝕂\left[x\right]=ℝ\left[x\right]$ dela suposatuko dugu.

   Aurreko adibideetan, $R=-3x^5+x^4-7x^3-9x^2+10x+8$ , $P=x^3+3x+4$ eta $Q=-3x^2+x+2$ polinomioak ditugu. 5 mailako $R$ polinomioa $PQ$ idatzi dugu, $3$ eta $2$ mailetako polinomioen biderkadura gisa. Bestalde, $P=\left(x^2-x+4\right)\left(x+1\right)$ eta $Q=\left(-3x-2\right)\left(x-1\right)$ dira; 2 mailako polinomioa laburtezina da kasu honetan; beraz, $R$ polinomioaren faktorizazio hau dugu:

   $P=\left(x^2-x+4\right)\left(x+1\right)\left(-3x-2\right)(x-1).$

2. $𝕂\left[x\right]=ℂ\left[x\right]$ dela suposatuko dugu.

   $x^2-x+4$ polinomioa honela deskonposa daiteke:

   $x^2-x+4=\left(x-\frac{1+\sqrt{15i}}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{15i}}{2}\right),$

   non $\frac{1+\sqrt{15}\cdot i}{2}$ eta $\frac{1-\sqrt{15}\cdot i}{2}$ zenbaki konplexuak diren. Orduan, $R$ polinomioaren faktorizazioa hau izango da:

   $R=\left(x-\frac{1+\sqrt{15}\cdot i}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{15}\cdot i}{2}\right)\left(x+1\right)\left(-3x-2\right)\left(x-1\right).$

$ℂ\left[x\right]$ multzoan, polinomio baten erro konplexuak binaka agertzen dira, hots, $a+bi\in ℂ$ zenbaki konplexua $P$ polinomioaren erro bat bada, $a-bi\in ℂ$ bere zenbaki konjugatua ere polinomioaren erroa da.