Oinarrizko konbinatoriaren helburua emandako irizpide baten arabera egin daitezkeen objektu-zerrendak kontatzea edo eratzea da. Erabilera modernoan, matematikaren atal handiago bat hartzen da konbinatoria izenaren azpian, grafoen teoria barne hartuta, adibidez.

Matematika zaharrean kontatzeari loturiko emaitzak agertzen diren arren, konbinatoriaren sorrera eta garapena probabilitateen teoriari lotuta etorri zen, zorizko jokoetako kasu posibleak edo aldekoak zenbatzeko.

Ondoren, konbinatorian agertzen diren egitura arruntenak ikusiko ditugu. Formulak emateko komeni da jakitea $n$ zenbaki arrunta bada, $n$-ren faktoriala $n!=n (n-1)\text{.}\text{.}\text{.}1$ zenbakia dela eta $0!=1$ definitzen dela.

Aldakuntzak

Multzo batek $m$ elementu baditu, $n$ elementuko zerrenda ordenatuei aldakuntza deritze edo, zehatzago esateko, $n$-naka hartutako $m$ elementuren aldakuntzak ($m \ge n$ behar da). Zerrenda bakoitzean sartzen diren elementuek desberdinak izan behar dute, eta ordena kontuan hartzen da, hau da, zerrenda bateko elementuek beste ordena batean hartuta zerrenda desberdina osatzen dute. Hau da $n$-naka hartutako m elementuren aldakuntza-kopurua:

$A_{m\mathrm{, }n}=m (m-1)\text{.}\text{.}\text{.}(m-n+1)=\frac{m!}{(m-n)!}$

Adibidea: 8 igerilariko txapelketa batean zenbat modutan osa daitekeen podiuma jakiteko, hirunaka hartutako zortzi elementuren aldakuntzak kontatu behar dira. Goiko formularen arabera, $A_{\mathrm{8,3}}=\text{336}$ dira.

Elementu bera behin baino gehiagotan ager badaiteke zerrenda batean, errepikatuzko aldakuntza deritze. Kasu honetan, ez du zertan $m \ge n$ izan. Errepikapenak onartuta, $n$-naka hartutako $m$ elementuren aldakuntza-kopurua $m^n$ da. Adibidea: Espainiako futbol-kinieletan, hiru elementuko (1, X, 2) multzo batekin 14 elementuko zerrenda ordenatuak egin behar dira, errepikapenak onartuz, jakina. Hortaz, egin daitezkeen kiniela desberdinen kopurua $3^{\text{14}}=4\text{.}\text{782}\text{.}\text{969}$ da.

Permutazioak

Multzo bateko elementu guztiekin egin daitezkeen zerrenda ordenatuei permutazio deritze. Aldakuntzen kasu berezia dira, $m=n$ kasua, alegia. Hango formula erabiliz, $m$ elementuko multzo batean $m!$ permutazio egin daitezke.

Permutazio bat multzo finitu batetik multzo berera egindako bijekzio modura har daiteke. Aplikazioen konposizioa eragiketa modura hartuta, permutazioen multzoan talde-egitura lortzen da (permutazio-taldea). Aljebrako talde-teorian aparteko garrantzia dute permutazioek.

Konbinazioak

Multzo batek $m$ elementu baditu eta $m \le n$ bada, $n$ elementu dituzten azpimultzoak konbinazioak dira, $n$-naka harturiko $m$ elementuren konbinazioak, hain zuzen ere. Aldakuntzetarako bezala, $n$ elementuko zerrendak egiten dira, baina orain ordena kontuan hartu gabe. Konbinazio bateko $n$ elementurekin $n!$ permutazio egin daitezkeenez, konbinazio bakoitzak horrenbeste aldakuntza desberdin ematen ditu. Aldakuntzen formulatik abiatuta, konbinazio-kopururako formula eman dezakegu:

$$ $K_{m,n}=\frac{m (m-1)\text{.}\text{.}\text{.} (m-n+1)}{n!}=\frac{m!}{n! (m-n)!}$

Zenbaki horiei konbinazio-zenbaki deritze eta $\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)$ idazten dira. Adibidea: loto jokoan, 1 eta 49 arteko sei zenbaki aukeratu behar dira apustu baterako; egin daitezkeen apustu desberdinak $k_{\text{49}\mathrm{,6}}=\left(\begin{array}{c}\text{49}\\ 6\end{array}\right)=\text{13}\text{.}\text{983}\text{.}\text{186}$ dira.

Konbinazio-zenbakien propietate garrantzitsuenak hauek dira:

$\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m\\ m-n\end{array}\right)$ eta $\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m-1\\ n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}m-1\\ n-1\end{array}\right)$

(Formula horiek kasu guztietarako balio dezaten $\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)=1$ definitzen da)

Bigarren formula horretan oinarrituta, antolamendu berezi batean idatz daitezke konbinazio-zenbakiak (Pascalen edo Tartagliaren triangelua), $m$-ren balio bakoitzari dagozkion guztiak lerro berean idatziz. Horrela, lerro bakoitzekoak idazteko (hau da, $m$-ren balio jakin baterako), aurreko lerrokoak erabiltzen dira ($m-1$ balioari dagozkionak).

Konbinazio-zenbakiak binomioaren koefiziente ere deitzen dira, Newtonen binomioaren formulan agertzen diren koefizienteak direlako.