Analisi kimikoaren funtzioa informazio kimiko baliagarria ematea da, eta horretarako, oinarri metodologikoaren hiru esparru hauek kontuan izaten dira:

• Prozedura analitiko osoa.

• Instrumentazio eta estandarizazio analitikoa.

• Kalitatea bermatzea.

Analisi kimikoaren deskripzioa egiteko, oinarri analitikoa (neurketa analitikoaren funtsa, alegia), metodo analitikoa (laginaren tratamendutik emaitzen tratamendurako ibilbidea jorratzen duena) eta prozedura analitikoa (auzia eta emaitzen interpretazioa biltzen dituena) bereizi ohi dira. Izan ere, prozedura analitikoaren bitartez, analisi kimikoaren xehetasunak ematen dira, lagina hartzeko prozeduratik hasita, emaitzak aurkezteko modua zehaztu arte. Oro har, hurrengo irudiko eskema erabiltzen dugu prozedura analitikoa eta aipatu berri diren esparruak azaltzeko. Eskema horretan, prozedura analitikoaren xehetasun orokorrak ematen dira urratsez urrats.

Prozedura analitikoaren eskema orokorra

Prozedura analitikoaren hasieran, auzia definitu behar da. Horretarako, hainbat baldintza zehaztu behar dira, besteak beste, laginak zer xehetasun kimiko dituen, zer analito neurtu nahi dugun, zer kontzentrazio-tarte espero diren, zehaztasunek eta doitasunek zer behar dituzten eta, noizbait ere, emaitzak zertarako nahi diren, hau da, emaitzen izaeraren arabera zer erabaki eta ondorio hartu behar den.

Izan ere, gaur egungo metodo analitikoei esker, era askotako auziei aurre egiten diegu; adibidez, Cr-Mo-V nahaste baten egokitasuna eta osagaien edukiaren araberako salneurria adieraztea; lurzoruak edo urak izan dezaketen berun-kantitatea arriskutsua den jakitea; aplikatutako terapia egokia den jakiteko, botika berri baten kontzentrazioaren jarraipena egitea; artelan zahar bat benetakoa den zehazteko, pigmentuen xehetasunak ematea; edo, analisiak zuzen egiteko espazio urrunera eramaten diren zundak egokitzea.

Behin analisi zehatz baten xehetasunak definitu direnean, hainbat urrats abiatzen dira era sistematiko batean. Lehenik, auziari aurre egiteko metodoa hautatu behar dugu, hau da, laginaren tratamenduari eta analitoen neurketa eta kuantifikazioari dagozkion ezaugarriak. Gero, lagina biltzeko baldintzak zehaztu behar dira, batez ere, lagin adierazgarri aski izateko, prozedurei eta analitoen egonkortasuna bermatzeko baldintzei dagokienez. Hirugarren urratsean, laginaren tratamendua bera nabarmentzen da. Laginak tratatu behar ditugu bertan dauden analitoak (analizatu nahi ditugun osagaiak, alegia) askatzeko, gainerako osagaietatik ahalik eta gehien bereizteko, aurrekontzentratzeko, edota fase jakin batean egokitzeko. Nolanahi ere, laginaren tratamenduak bestelako prozedurak biltzen ditu; prozedura batzuk, sinpleak dira, eta beste batzuek baliabide instrumental garatuak behar dituzte.

Hurrengo urratsean analitoak neurtu egiten dira, eta, urrats horretan, aipatutako bigarren esparrua sartzen da bete-betean. Neurketak instrumentalak direnez (kromatografia, espektrofotometria, mikroskopia...), metodo instrumentalen berariazko ezaugarriak jakin eta erabili behar dira. Horrez gain, lagin ezezaguneko analitoen neurketak eta lagin ezagunetan, edo estandarretan, egindakoak erkatu behar dira. Konparazio horri estandarizazio deitzen diogu, eta, horretarako, hainbat baliabide erabiltzen dira.

Azkenik, lortutako emaitzak interpretatu egin behar dira; kasu horretan, hirugarren esparrua sartzeko, bi ikuspuntu bereiz daitezke. Alde batetik, emaitzen benetakotasuna izan behar da kontuan, hau da, emaitza zenbateraino den zuzena. Zeregin horretan, hain zuzen ere, kalitatea bermatzeko baliabideak garatu dira. Bestetik, emaitzen baliagarritasuna izan behar da kontuan, hots, emaitzak hasierako auziari aurre egiteko modukoak diren zehaztu behar da.

Limitea

Limiteak adierazten du segida batek gaietan aurrera egin ahala duen portaera, edo funtzio batek aldagaiaren balio jakin batera hurbiltzean duen portaera. Ideia intuitibo horri kalkulurako bidea ematean eta formalizatzean garatu zen matematikaren atalari analisi matematiko deritzo.

Limitearen erabileraren lehen urratsak greziarren artean aurkitu ditzakegu, Arkimedesek kalkulatu zituen azalera eta bolumenetan, esate baterako. Oinarrian prozesu infinituak izan arren, beste arrazoibide batzuk asmatu zituzten greziarrek infinitua erabili behar ez izateko eta, hortaz, ez zuten limitea kontzeptu matematiko modura garatu. Mende askoan ez zen aurrerapen nabarmenik egin gai horietan, harik eta XVII. mendean gaur egun analisiari dagozkion zenbait problema aztertzeko (zuzen ukitzaileak eta normalak, azalerak, bolumenak, grabitate-zentroak) metodo berriak agertu arte. Mende horren azken herenean sortu zen matematikara eta fisikara aro berri baten hasiera ekarri zuen atala.

Kalkulu infinitesimala

Analisi matematikoaren historiaren lehen urratsa kalkulu infinitesimalaren sorrera izan zen. Jatorrian problema geometriko bi daude, biak planoko kurba baterako planteatuta: batetik, aurkitu zuzen ukitzailea kurbaren puntu batean; bestetik, aurkitu kurbaren grafikoaren azpian gelditzen den azalera. Horrela emanda, elkarren artean zerikusirik ez duten problemak dirudite. Baina kurba funtzio batekin identifikatuz gero, problema horiek funtzioaren gainean eginiko eragiketa moduan ikus daitezke, eta Newtonen eta Leibnizen meritua izan zen konturatzea eragiketa horiek elkarren alderantzizkoak direla. Jatorrizko problema geometrikoak gaindituz, funtzioen arteko eragiketa bihurtu ziren deribatua eta integrala, eta horrela jatorri desberdineko zenbait problema bitan banatu ziren, batzuk deribazioari lotuak, beste batzuk integrazioari.

Deribatuaren nozioa zuzen ukitzailearen problemari lotuta dator, zuzen horren malda ematen baitu deribatuak. Kontzeptu hori era matematikoan adierazteko, limitea behar da. Funtzioaren eta aldagaiaren gehikuntzen arteko erlazioa neurtzea da kontua, baina puntu batean eta ez tarte batean. Tarte batean eginez gero, gehikuntzen arteko zatidurak zuzen ebakitzailearen malda ematen du, eta ebakitzailetik ukitzailera pasatzea tartearen luzera zerorantz eramatea da, hau da, limitea egitea.

Newtonen eta Leibnizen abiapuntuak ez ziren berdinak, eta bigarrenaren bidea, infinitesimalak erabiltzen zituena, eraginkorragoa suertatu zen XVIII. mendeko garapenerako. Mende horretako matematikaririk nabarmenena Leonhard Euler izan zen, eta haren lan itzelaren zatirik handiena analisi matematikoan eta aplikazioetan kokatzen da. Are gehiago, hiru liburutan Eulerrek analisiaren egitura zehaztu zuen, serieak eta oinarrizko funtzioak aztertuz. Liburu horiek testuliburu bihurtu ziren, eta, gaien tratamendua modernizatu arren, kalkulu infinitesimalaren aurkezpena Eulerrek markaturiko ildotik egiten da oraindik ere. XVIII. mendean lortu zuen arrakastaren ondorioz, analisi matematikoa, sortu zenetik ehun urtera, matematikaren arlo nagusia bilakatu zen.

Deribatuak funtzio baten aldakuntzaren abiadura neurtzen du. Funtzioak magnitude fisiko baten balioak adierazten baditu (higitzen ari den partikula batek egiten duen espazioa, adibidez), deribatuak magnitudea zer abiaduratan aldatzen den ematen du (partikularen abiadura, higiduraren kasuan). Fenomeno fisikoek deskribatzen dituzten legeak zenbait magnituderen aldakuntzen arteko erlazioek ematen dituztenez, deribatuak bere lekua aurkitu zuen lege horien formulazioan, hori ekuazio diferentzial modura egin baitzen.

Azaleren kalkulurako tresna matematikoa integrala da. Kalkulu zuzenerako formularik gabe, erabakigarri suertatu zen integrazioa eta deribazioa alderantzizko eragiketa modura identifikatzea. Horrela, ohiko funtzioen deribatuetarako taula bat izanez gero, taula hori alderantziz irakurrita, integraziorako taula dugu. Formulazio matematikoan, kalkuluaren oinarrizko teoremak adierazten du alderantzizkotasun hori:

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),$

baldin $F^{\text{'}}=f$ bada.

Analisiaren aroa

Metodoetan eta aplikazioetan arrakastatsu, baina kritika nagusi bat gainetik kendu ezinik heldu zen kalkulu infinitesimala XIX. mendera: matematikaren metodoak eskatzen zuen zorroztasunik gabe eraikita egotea, alegia. Kontzeptuen definizioa ez zen zehatza, eta ez zegoen frogak logikaren bide zehatzetik erakusterik, matematikaren izaerak eskatzen zuen moduan.

XIX. mendeko lehen urteetan agertu ziren lehen urratsak egoera horri buelta emateko, Bolzano eta Cauchyren eskutik. Ez bakarrik kontzeptuen definizioan kritikak zeudelako, kontraesanak ekiditeko ere (serieen manipulazioetan, esate baterako) beharrezko ikusten zuten oinarri sendoetan eraikitzea kalkulu infinitesimala. Bolzanoren lanak ez ziren hain ezagunak izan bere garaian; Cauchyk, aldiz, eragin handia izan zuen bere testuliburuetan markatu zituen bideekin. Berari zor zaio, besteak beste, integrala kontzeptu bereizi modura definitzea eta ez deribazioaren alderantzizko modura. Integralaren definizioa labur gelditzen zenez, hedatzeko ahaleginak Riemannen integrala ekarri zuen lehenengo, eta XX. mendea hasi berritan, Lebesgueren integrala, analisiaren garapen modernorako ezinbestekoa.

Gaur egun, limitea, jarraitutasuna, konbergentzia eta beste zenbait kontzeptu azaltzeko erabiltzen dugun itxura (epsilon-delta famatua) XIX. mendearen bigarren erdian etorri zen Weierstrassekin eta haren eskolakoekin. Ordurako, Alemanian zeuden matematikaren gunerik garrantzitsuenak. Bide formalago horiek hartuta alde batetik, eta hasierako deribazio eta integraziotik askoz urrunago joanda bestetik, kalkulu infinitesimala analisi matematiko bihurtu zen.

Ekuazio diferentzialak

Funtzio baten eta haren deribatuen arteko erlazio bat ekuazio moduan emanez gero, ekuazio diferentziala dugu. Kalkuluaren sorrerarekin batera agertu ziren ekuazio diferentzialak, eta ez bakarrik integrazioa bera delako ekuazio diferentzialik oinarrizkoena: $f^{\text{'}}=g$ bada, aurkitu $f$. Berehala izan zuten matematikariek ekuazio zailagoak aztertzeko beharra, besteak beste, ordena handiagoko deribatuak agerraraziz ekuazioetan. Hasierako metodo partikularretatik abiatuz, XVIII. mendean ekuazio linealetarako metodo orokorrak aurkitu eta soluzio-multzoen egitura zehaztu zuten (Euler eta Lagrangeren ekarpen garrantzitsuak dira aipagarrienak).

Ekuazio diferentzial bat ebaztea ekuazioa betetzen du(t)en funtzioa(k) aurkitzea zen XVIII. mendeko matematikarientzat. XIX. mendean, ordea, beste ikuspegi batzuk agertu ziren. Kalkulu infinitesimaleko oinarrizko kontzeptuekin gertatzen zen bezala, Cauchy kritiko zen ekuazioak ebazteko egiten ziren manipulazioekin (serieen erabilera formalarekin, adibidez), eta lehen existentzia-teoremak eman zituen: datuen gaineko baldintza nahikoak ekuazio diferentziala betetzen duen funtzio bat badela ziurtatzeko. Urte batzuk geroago, beste urrats bat eman zuen Sturmek, metodo kualitatiboak sortuz. Metodo horiekin ekuazio diferentzial baten soluzioen zenbait propietate erakuts daitezke, nahiz ezin eman soluziorako adierazpen bat. Arlo honetan Poincaréren ekarpena funtsezkoa izan zen, XIX. mendearen amaieran.

Funtzioek aldagai bat baino gehiago badute, deribatu partzialak dira ekuazio diferentzialean agertzen direnak. Era honetako ekuazio klasikoen artean, uhin-ekuazioa izan zen lehena agertzen, XVIII. mendearen erdialdera, hari baten bibrazioen deskripzioa aztertzeko. Ekuazio horren soluzioen inguruan izan zen eztabaidak zerikusi handia izan zuen analisiko zenbait kontzepturen formulazioan. Hari bibratzailearen higidura deskribatzeko ekuazioak izan zuen arrakastak beste hainbat fenomeno fisikotarako ere ekuazio egokia bilatzea ekarri zuen. Analisi matematikoa, ekuazio diferentzialen bidez, fisika matematikoaren oinarria bihurtu zen.

Serie infinituak

Zenbaki-segida batek infinitu zenbaki ditu. Ezin ditzakegu zenbaki horiek guztiak batu ohiko erregelekin, eta batura definitzeko limitearen bidetik jo behar da. Horrek aljebratik atera eta analisian sartzen gaitu, serie deitzen den kontzeptuaren bitartez.

Oso garrantzi handia izan zuten serieek analisiaren hastapenetan. Funtzio bat adierazteko ohiko modua zen berretura-serie bidez ematea, eta ez da harrigarria, serie horiek polinomioen bertsio infinituak direlako, nolabait. Taylorren 1715eko argitalpen batean ageri da funtzioaren deribatuek seriearen koefizienteekin duten lotura eta horrek dituen aplikazioen azterketa. Horregatik, haren izena darama gaur egun funtzio bati lotzen zaion berretura-serieak: Taylorren seriea.

Ekuazio diferentzialen soluzioak emateko ere ohiko tresna ziren serieak XVIII. mendetik aurrera. Funtzioak berretura-serie modura garatzeko ahalegina naturala bada, polinomioen antzagatik, beroaren ekuazioa ebazteko Fourierrek asmatu zuen metodoak —gero hainbat ekuaziotarako aplikatua— beste funtzio-serie batzuei eman zien garrantzia: serie trigonometrikoei, alegia. Izugarrizko eragina izan zuten analisiaren garapenean XIX. mendean, eta atal bereizi bat sortu zuten: Fourierren analisia.

Bariazioen kalkulua

Kalkulu diferentzialaren ohiko aplikazio bat funtzio baten maximoak eta minimoak non agertzen diren aurkitzea da. Baina XVII. mendean agertu ziren problema batzuetan, kurba batzuen artean zeini dagokion kantitate baten maximoa edo minimoa aztertu behar zen. Brakistokronaren problemak ematen du lehen adibidea: partikula bat puntu batetik beste batera doa grabitatearen eragin soilez; lehen puntuan hasi eta bigarrenean amaitzen diren ibilbideetatik, zein hartu behar du partikulak arinen egiteko? Orain, aldagaia kurba da (funtzioa, beraz), kurba bakoitzari denbora bat dagokio, eta horien minimoa bilatzen da. Era horretako problemez arduratzen den analisiaren atala bariazioen kalkulua da. Brakistokronoaren moduko problema berezi batzuetan oinarrituz, Eulerrek egin zuen lehen egituratze-lana, eta handik laster Lagrangek berritu zuen. Hain zuzen, Euler-Lagrangeren ekuazio deritzo bariazioen kalkuluko oinarrizko formulari. Mundu errealeko hainbat problemetan du aplikazioa analisiko atal honek.

Analisi konplexua

Zenbaki konplexuak XVI. mendetik erabiltzen ziren, ekuazio aljebraikoen erroen bilaketan. XVIII. mendean, D’Alembert eta Euler hasi ziren funtzioen aldagai modura hartzen, eta modu naturalean sartu zituzten kalkuluetan. Hala ere, tresna modura agertu ziren, eta ez zituzten funtzio konplexuen propietateak aztertu.

XIX. mendean eraiki zuten aldagai konplexuko funtzioen teoria. Hiru matematikari eta hiru ikuspuntu aipatu behar dira: Cauchy, Riemann eta Weierstrass. Cauchyri zor zaizkio kurben gaineko integrazioarekin lotzen diren teorema nagusiak. Riemannek ikuspegi geometrikotik landu zituen funtzio konplexuak, eta objektu geometriko erabat berriak sortu zituen haien azterketetatik. Weierstrassek, beste analisiko arlo batzuetan egin zuen bezala, oinarri sendoak nahi izan zituen funtzio konplexuen azterketan, eta berretura-serieak hartu zituen oinarritzat (funtzio analitikoak). XIX. mendearen amaieran, aldagai konplexu bateko funtzioen teoria egina zegoen, eta ordurako analisi matematikoaren adar klasikoa zen.

Analisi funtzionala

Funtzioak espazio bateko puntu modura ikustea izan zen XX. mendearen hasieran analisiak izan zuen berrikuntzarik handiena. Funtzio-espazioak agertu ziren, eta analisia bertan egiteko behar ziren egiturak sortu ziren. Dimentsio finituko espazioetatik dimentsio infinituko espazioetara pasatzeak hainbat kontzeptu egokitu beharra eskatu zuen: distantzia, konbergentzia, biderkadura eskalarra eta abar. Baina, aldi berean, dimentsio finituko espazioetan gertatzen ez ziren propietateak agertu ziren, intuizioaren aurkakoak batzuetan. Egitura aljebraikoak, geometrikoak eta topologikoak elkartuta, funtzio-espazioen eta haien arteko eragileen teoriak asko aberastu zuen analisi matematikoaren mundua, eta analisiaren aplikazioena. Espazio metrikoak, normatuak, Banachen eta Hilberten espazioak eta beste egitura batzuk sortu zituzten matematikariek XX. mendeko lehen urteetan, eta analisi funtzional deritzon atal berria ekarri zuten analisi matematikora.