Segidak $ℝ$  multzoan

Segidak

Definizioa $ℝ$  multzoko segida bat $\mathbb{N}$  multzotik $ℝ$  multzora doan aplikazio bat da, non $n\in \mathbb{N}$  zenbaki arruntari $a_n\in ℝ$  elementua esleitzen zaion.

$f:\mathbb{N}\to ℝ,f(n)=$  segidaren $\mathrm{n.}$ gaia $=a_n\in ℝ.$

Segidaren elementuei gai deritze, $a_n\in ℝ$  elementuari, segidaren gai orokor, eta segida $\left\{a_n\right\}$idatziko dugu.

Praktikan, $f(n)$  aplikazioa erabili beharrean, $f(\mathbb{N})=\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ azpimultzoa erabiltzen da.

Adibidea $ℝ$ multzoan segida hauek definituko ditugu:

$\left\{a_n\right\}=\left\{1\right\}=\left\{\mathrm{1,1,1,}\dots \mathrm{,1,}\dots \right\}$segida konstantea da;

$\left\{b_n\right\}=\left\{{\left(-1\right)}^n\right\}=\{-\mathrm{1,1,}-\mathrm{1,}\dots ,{(-1)}^n,\dots \};$

$\left\{c_n\right\}=\left\{\frac{\ln n}{n}\right\}=\{\frac{\ln n}{1},\frac{\ln 2}{2},\frac{\ln 3}{3},\dots ,\frac{\ln n}{n},\dots \}.$

Definizioa $\left\{b_n\right\}$segida $\left\{a_n\right\}$segidaren azpisegida da $\left\{b_n\right\}$segidaren gai guztiak $\left\{a_n\right\}$segidaren gaiak badira.

Beste era batean, $\left\{b_n\right\}\subset \left\{a_n\right\}$betez gero, $\left\{b_n\right\}$segida $\left\{a_n\right\}$segidaren azpisegida da.

Adibidea $\left\{d_n\right\}=\left\{\frac{\ln 2n}{2n}\right\}$segida $\left\{c_n\right\}=\left\{\frac{\ln n}{n}\right\}$segidaren azpisegida da.

$c_1=\frac{\ln 1}{1},c_2=\frac{\ln 2}{2},c_3=\frac{\ln 3}{3},c_4=\frac{\ln 4}{4},c_5=\frac{\ln 5}{5},c_6=\frac{\ln 6}{6},c_7=\frac{\ln 7}{7},c_8=\frac{\ln 8}{8},\cdots$

$d_1=\frac{\ln 2}{2},{\text{ d}}_2=\frac{\ln 4}{4},{\text{ d}}_3=\frac{\ln 6}{6},d_4=\frac{\ln 8}{8},\cdots$

Segiden limiteak

Definizioa $\left\{a_n\right\}$segida konbergentea da $ℝ$  multzoan $l\in ℝ$  badago, non $l$-ren edozein ingurune irekitan $\left\{a_n\right\}$segidaren gai batetik aurrera segidaren gai guztiak dauden.

Kasu horretan $l$-ri segidaren limite deituko diogu eta

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=l$

idatziko dugu. Batzuetan, $\left\{a_n\right\}\to l$ ere adieraziko dugu.

Definiziotik zuzenean adierazpen hau atera dezakegu:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=l\iff \forall \epsilon >0\exists n_0\left(\epsilon \right)\in \mathbb{N}/\forall n\ge n_0\left(\epsilon \right)\left|a_n-l\right|<\epsilon .$

Adibidea Esate baterako, $\left\{\frac{2n+1}{n}\right\}$ segidaren limitea 2 da; hau da, $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+1}{n}=2.$  

Propietateak

1. $\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ segida konbergentea bada, limitea bakarra da.

2. $\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ segida konbergentea bada, bere azpisegida guztiak konbergenteak dira eta segidaren limite bera dute.

3. $\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ segida konbergentea bada, $\left\{a_n\right\}$segida bornatua da.

Definizioa $\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ segida dibergentea da $ℝ$  multzoaren jatorriaren, O-ren, ingurune ireki guztietarako $\left\{a_n\right\}$ segidaren gai batetik aurrera segidaren gai guztiak kanpoaldean badaude.

Kasu horretan, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$ idatziko dugu. Batzuetan, $\left\{a_n\right\}\to \infty$ere adieraziko dugu. Kontuan izan behar dugu infinituak bi aukera dituela: $+\infty$  eta $-\mathrm{\infty .}$

Definizio horretatik adierazpen hau atera dezakegu:

$\left\{a_n\right\}$ dibergentea da $\iff \forall K>0$  $\exists n_0\left(K\right)\in \mathbb{N}/\forall n\ge n_0\left(K\right)$  $\left|a_n\right|>\mathrm{K.}$

Adibidea $\left\{\ln n\right\}$ segida dibergentea da.

Definizioa $\left\{a_n\right\}\subset ℝ$ segida oszilatzailea da ez bada ez konbergentea, ezta dibergentea ere.

Adibidea $\left\{{\left(-1\right)}^n\right\}$segida oszilatzailea da.

Segida monotonoak

$ℝ$ multzoan $\le$ (txikiago edo berdin) ordena-erlazioa dago definiturik. Atal honetan, ordena-erlazioak segiden jokaeran duen eragina aztertuko dugu.

Definizioa Izan bedi $\left\{a_n\right\}ℝ$ multzoko segida bat,

$\left\{a_n\right\}$segida monotono gorakorra da   $\forall n\ge n_0$    $a_n\le a_{n+1}$  betetzen badu.

$\left\{a_n\right\}$segida hertsiki monotono gorakorra da   $\forall n\ge n_0$  $a_n<a_{n+1}$  betetzen badu.

$\left\{a_n\right\}$segida monotono beherakorra da   $\forall n\ge n_0$  $a_n\ge a_{n+1}$  betetzen badu.

$\left\{a_n\right\}$segida hertsiki monotono beherakorra da   $\forall n\ge n_0$  $a_n>a_{n+1}$  betetzen badu.

Adibidea

$\left\{1\right\}$segida konstantea monotono gorakorra eta beherakorra da, definizioen arabera.

$\left\{\frac{n-1}{n}\right\}$segida hertsiki monotono gorakorra da.

$\left\{\frac{n+1}{n}\right\}$segida hertsiki monotono beherakorra da.

Propietatea Segida monotono bornatu guztiak konbergenteak dira.

Adibidea $\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$segida konbergentea da.

Alde batetik, segida hertsiki monotono gorakorra da eta, beste aldetik, bornatua da

$\forall n\in \mathbb{N}2\le {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<3$

betetzen delako. Hortaz, segida konbergentea da. Bere limitea hau da:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e=\text{2},\text{71828182}\mathrm{...}$

Propietateak

1. $\left\{a_n\right\}$segida monotono konbergentearen limitea zero ez bada, segidaren gai batetik aurrera gai guztiek limitearen zeinu bera dute.

2. $\left\{a_n\right\}$ eta $\left\{b_n\right\}$segida monotono konbergenteen limiteak $a$ eta $b$ badira eta $\left\{c_n\right\}$segida monotonoak $\forall n\ge n_0$  $a_n\le c_n\le b_n$ betetzen badu, $\left\{c_n\right\}$segida konbergentea da eta c bere limiteak hau betetzen du: $a\le c\le \mathrm{b.}$

Segiden arteko eragiketak eta limiteak

Definizioa $\left\{a_n\right\}$eta $\left\{b_n\right\}$segidak emanik, eragiketa hauek definituko ditugu:

Batuketa/kenketa:         $\left\{a_n\right\}\pm \left\{b_n\right\}=\{a_n\pm b_n\}.$

Biderketa:         $\left\{a_n\right\}\times \left\{b_n\right\}=\{a_n\cdot b_n\}.$

Zatiketa:           $\left\{a_n\right\}÷\left\{b_n\right\}=\{a_n÷b_n\},$$b_n\ne 0$  izanik.

Logaritmoa:       ${\log }_b\left\{a_n\right\}=\{{\log }_b{a}_n\},$$b>0$  eta $a_n>0$  izanik.

Esponentziala:  $K^{\left\{a_n\right\}}=\left\{K^{a_n}\right\},K>0$ izanik.

Berreketa:         ${\left\{a_n\right\}}^{\left\{b_n\right\}}=\left\{a_n^{b_n}\right\},a_n>0$ izanik.

Oro har, “segiden arteko eragiketen limitea = limiteen arteko eragiketa” betetzen da. Baina, salbuespenak daude, eta eragiketa bakoitzak bere berezitasunak ditu. Bestalde, eragiketan limite infinitua duen segida sartzen badugu, limitearen kalkulua zaildu egin daiteke. Eragiketa baten limitea aurreko erregela erabiliz kalkulatu ezin denean, indeterminazio bat sortzen dela esango dugu.

Eragiketen limiteetan sor daitezkeen indeterminazioak hauek dira:

Batuketa/kenketa:         $\infty -\mathrm{\infty ;}$

Biderketa:         $0\cdot \mathrm{\infty ;}$

Zatiketa:           $\frac{0}{0},\frac{0}{\mathrm{\infty ;}}$

Berreketa:         $0^0,1^{\infty },{\infty }^{0.}$

Indeterminazioak ebazteko metodoak

Atal honetan, zenbait metodo aztertuko ditugu indeterminazioak ebazteko.

Baliokidetasuna

Definizioa $\left\{a_n\right\}$ eta $\left\{b_n\right\}$ segidak baliokideak dira $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=1$ denean.

Honela adieraziko dugu:

$\left\{a_n\right\}\sim \left\{b_n\right\}\Leftarrow \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=1$

Propietatea $\left\{a_n\right\}$ eta $\left\{b_n\right\}$ segida baliokideak badira, limite berdina dute.

Adibideak

1. $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ eta $\left\{\sin \frac{1}{n}\right\}$ segidak baliokideak dira.

2. $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ eta $\left\{\frac{1}{n^2}\right\}$ ez dira segida baliokideak.

Ordezkapen-printzipioa Segida baten limitea kalkulatzean, gai orokorraren adierazpenean agertzen den biderkagai edo zatitzaile bat bere baliokide batez ordezka daiteke segidaren limitea aldatu gabe.

Definizioa

1. $\left\{a_n\right\}$segida infinitesimala da $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ bada.

2. $\left\{a_n\right\}$segida infinitua da $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty$  bada $(+\infty$  edo $-\infty ).$

Segida infinitesimal hauek baliokideak dira:

1. $\left\{a_n\right\}\sim \left\{\sin a_n\right\}\sim \left\{\tan a_n\right\}\sim \left\{\arcsin a_n\right\}\sim \{\arctan a_n\}.$

2. $\left\{1-\cos a_n\right\}\sim \{\frac{a_n^2}{2}\}.$

3. $\left\{a_n\right\}\sim \{\ln \left(1+a_n\right)\}.$

4. $\left\{b_n-1\right\}\sim \left\{\ln b_n\right\},\left\{b_n\right\}\to 1$denean.

Segida infinitu hauek baliokideak dira:

1. $\left\{a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots a_{1}n+a_0\right\}\sim \{a_k{n}^k\}.$

2. Stirlingen baliokidetza: $\left\{n!\right\}\sim \{n^n{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\}.$

Polinomioen arteko zatiduraren limitea

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+\cdots a_{1}n+a_0}{b_l{n}^l+b_{l-1}{n}^{l-1}+\cdots +b_{1}n+b_0}=\{\begin{array}{cc}\infty & k>l\text{ denean}\\ \frac{a_k}{b_k}& k=l\text{ denean}\\ 0& k<l\text{ denean}\end{array}$

Infinituen ordenak

Beste aldetik, infinituak ez dira “abiadura” berdinean hurbiltzen infinitura; “hurbiltze-abiadura” horri infinituaren ordena deituko diogu. Lau ordena bereiziko ditugu:

$\left\{{\left(\ln a_n\right)}^q\right\}<<<\left\{{\left(a_n\right)}^p\right\}<<<\left\{k^{a_n}\right\}<<<\{{\left(a_n\right)}^{r{a}_n^{}}\},$

$q,p,r>0$ eta  $k>1$ izanik.

Stolzen irizpideak

Teorema $\left\{a_n\right\}$eta $\left\{b_n\right\}$segidak emanik, baldintza hauek betetzen badira:

1. $\left\{b_n\right\}$hertsiki monotonoa bada,

2. $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ existitzen bada eta

3. hauetako bat ere betetzen bada,

   1. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=0;$

   2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=+\infty ;$

   3. $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=-\infty ;$

Stolzen irizpideak dio berdintza hau beteko dela:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$

Adibidea Kalkula dezagun $\left\{\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}}{\ln n}\right\}$segidaren limitea.

$\left\{b_n\right\}=\left\{\ln n\right\}$segida monotono gorakorra da eta $\underset{n\to \infty }{\lim }\ln n=+\infty$ da. Beraz, hiru hipotesietatik bi betetzen dira, lehena eta 3.b. Kalkula dezagun 2. hipotesiko limitea:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)}{\ln \left(n+1\right)-\ln n}=$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/\left(n+1\right)}{1/n}=1.$

Hori ere betetzen denez, esan dezakegu segidaren limitea 1 dela.

e zenbakiaren erabilpena

e zenbakia $\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}$segidaren bidez definitu dugu. Segida horretan aldaketa batzuk eginez, limitea ez da aldatuko edo gutxi aldatuko da. Beste aldetik, segida horretan ematen diren egoerak orokortu daitezke eta e limite bera lortu. Hauek dira emaitza nagusiak:

$\begin{array}{ll}e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n;\hfill & e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+k};\hfill \\ e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)}^n;\hfill & e^k=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^n;\hfill \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0\Rightarrow e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+a_n\right)}^{1/a_n};\hfill & \underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\pm \infty \Rightarrow e=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{a_n}\right)}^{a_n};\hfill \end{array}$

Adibidea $\left\{{\left(\frac{n+1}{n+3}\right)}^{n+5}\right\}$segidaren limitea kalkulatuko dugu.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n+3}\right)}^{n+5}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{n+3}\right)}^{n+3}{\left(1-\frac{2}{n+3}\right)}^2=e^{-2}\times 1=e^{-2}.$

Cauchyren segidak

Definizioa $\left\{a_n\right\}$segida Cauchyren segida dela esango dugu baldintza hau betetzen badu:

$\forall \epsilon >0$   $\exists n_0\left(\epsilon \right)\in \mathbb{N}/\forall p,q\ge n_0\left(\epsilon \right)$   $\left|a_p-a_q\right|<\mathrm{\epsilon .}$

Teorema Cauchyren irizpidea

$ℝ$  multzoan $\left\{a_n\right\}$segida konbergentea da baldin eta soilik baldin $\left\{a_n\right\}$segida Cauchyren segida bada.