Serieak $ℝ$ multzoan

Seriea eta serie baten batura

Definizioa $\{a_n\}\subset ℝ$ zenbaki errealen segida bat emanik, segidaren gai guztien batuketari,

$a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots ,$

serie deituko diogu, eta honela adieraziko dugu: ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$

$a_n$  seriearen gai orokorra da.

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$  seriearen $n$. batura partziala da.

$R_n=a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots$  seriearen $n$. hondarra da.

Konturatu gaitezen $S_n+R_n=(a_1+a_2+\cdots +a_n)+(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots )={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$  dela.

Definizioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea emanik, seriearen batura deituko diogu batura partzialen segidaren limiteari, hau da,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_1+a_2+\cdots +a_n\right)=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots ={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$

balioari.

Serieen problema nagusia seriearen $a_n$  gai orokorretik seriearen batura lortzea da, hau da,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$

kalkulatzea.

Serieak batura finitua duenean, batura zehatza kalkulatzea interesatuko zaigu. Kasu askotan, badaude batura hori zehazki kalkulatzeko metodoak eta formulak. Hala ere, hori ez da serie guztiekin gertatzen. Orduan, batura zehazki kalkulaezina denean, gutxi gorabeherako batura, hots, batura hurbildua kalkulatzen saiatzen gara. Baina batura hurbildua kalkulatzen dugunean, errore bat egiten dugu; errore hori bornatu beharrean gaude hurbilketa ona izan dadin. Batura hurbildua $\left\{S_n\right\}$ batura partzialen bidez kalkulatzen da, eta errorea $\left\{R_n\right\}$hondarren bidez.

Serie baten izaera

Definizioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea, dibergentea edo oszilatzailea dela esango dugu $\left\{S_n\right\}$batura partzialen segida konbergentea, dibergentea edo oszilatzailea denean, hurrenez hurren.

Definizioak esaten digu seriea konbergentea denean batura finitua duela, dibergentea denean batura infinitua duela eta oszilatzailea denean ez duela baturarik.

Adibidea Serie geometrikoa

${\displaystyle \sum _{n}a{r}^{n-1}}=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$

serieari serie geometriko deituko diogu, $a\ne 0$ izanik, eta $r\in ℝ$ balioari serie geometrikoaren arrazoi.

Seriearen lehenengo $n$ gaien batura, $n$. batura partziala, hau da:

$S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$, $r\ne 1$ denean, eta  $S_n=a+a+\cdots +a=na$, $r=1$ denean.

Batura partzialen segidaren limitea kalkulatuz, emaitza hauek lortuko ditugu:

1. $r\le -1$ denean, ${\displaystyle \sum _{n}a{r}^{n-1}}$ serie geometrikoa oszilatzailea da.

2. $-1<r<1$ denean, ${\displaystyle \sum _{n}a{r}^{n-1}}$ serie geometrikoa konbergentea da eta batura $s=\frac{a}{1-r}$ da.

3. $1\le r$ denean, ${\displaystyle \sum _{n}a{r}^{n-1}}$ serie geometrikoa dibergentea da.

Batura partzialen limitea kalkulatu baino lehen, batura existituko denetz esango digun irizpidea interesatzen zaigu. Serie guztietarako balio duten emaitzak dira hauek:

Teorema Cauchyren irizpidea

${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea da, baldin eta soilik baldin hau betetzen badu:

$\forall \epsilon >0$  $\exists n_0\left(\epsilon \right)\in \mathbb{N}/\forall p,q\ge n_0\left(\epsilon \right)$  $\left|S_q-S_p\right|=\left|a_{p+1}+a_{p+2}+\cdots +a_q\right|<\epsilon$.

Korolarioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea bada, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ beteko da.

Oharra.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ izateak ez du esan nahi ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea denik. Adibide hau da horren lekuko.

Adibidea Serie harmonikoa

${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$ serieari serie harmoniko deritzo.

Frogatu daiteke serie harmonikoak ez duela Cauchyren irizpidea betetzen, eta, beraz, ez dela konbergentea; baina $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ da.

Korolarioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea da baldin eta soilik baldin $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n=0$ bada.

Gai positibotako serieak

Definizioa eta propietateak

Definizioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ gai positibotako seriea da gai batetik aurrera gai guztiak positiboak badira, hau da, $\forall n\ge n_0$  $a_n>0$ bada.

Propietateak ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ gai positibotako seriea emanik,

1. $\left\{S_n\right\}$ segida hertsiki monotono gorakorra da.

2. Seriea konbergentea ala dibergentea da, baina inoiz ez oszilatzailea.

3. Elkartze-legea: ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriearen izaera eta batura ez dira aldatzen, ondoz ondoko gaien taldeen ordez beren baturak jartzen badira.

4. Banatze-legea: ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriearen izaera ez da aldatzen bere gai guztiak $\lambda \ne 0$ konstante batez biderkatzen badira. Horrez gain, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}=s$ bada, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda a_n}=\lambda s$  izango da.

5. Trukatze-legea: ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriearen izaera eta batura ez dira aldatzen bere gaiak edonola berrordenatzen badira ere.

Konparaziozko irizpide orokorra

Definizioa

1. ${\displaystyle \sum _n{b}_n}$ seriea ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriearen serie maiorantea da $\forall n\ge n_0$  $b_n\ge a_n$ bada.

2. ${\displaystyle \sum _n{b}_n}$ seriea ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriearen serie minorantea da $\forall n\ge n_0$  $b_n\le a_n$ bada.

Teorema Konparaziozko irizpide orokorra

1. ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ serieak serie maiorante konbergentea onartzen badu, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea ere konbergentea izango da.

2. ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ serieak serie minorante dibergentea onartzen badu, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea ere dibergentea izango da.

Adibidea Serie harmoniko orokortua

${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n^{\alpha }}}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{4^{\alpha }}+\frac{1}{5^{\alpha }}+\cdots$

seriea serie harmoniko orokortua da, $\alpha \in {ℝ}^{+}$ izanik.

1. $\alpha =1$  kasuan, ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}$ serie harmonikoa dugu, dibergentea.

2. $\alpha <1$  denean, ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}$ serie harmonikoa ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n^{\alpha }}}$ seriearen serie minorante dibergentea da. Irizpidea erabiliz, ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n^{\alpha }}}$ seriea ere dibergentea da.

3. $\alpha >1$   kasuan, frogatu daiteke serie harmoniko orokortua konbergentea dela.

Korolarioa $\left\{a_n\right\}$ eta $\left\{b_n\right\}$ segidek $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=c\ne 0$ betetzen badute, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ eta ${\displaystyle \sum _n{b}_n}$ serieek izaera berbera dute.

$c=1$ kasuan, $\left\{a_n\right\}$ eta $\left\{b_n\right\}$ segidak baliokideak dira. Hortaz, bi segida baliokideak direnean, dagozkien serieak izaera berekoak dira.

Adibidea ${\displaystyle \sum _n\sin \frac{1}{n}}$ seriea dibergentea da.

Badakigu $\left\{\frac{1}{n}\right\}\sim \left\{\sin \frac{1}{n}\right\}$baliokidetza betetzen dela; beraz, ${\displaystyle \sum _n\sin \frac{1}{n}}$ eta ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}$ serieek izaera bera dute; serie harmonikoa dibergentea denez, ${\displaystyle \sum _n\sin \frac{1}{n}}$ seriea ere dibergentea da.

Konparaziozko irizpide orokorraren aplikazioak

Teorema Erroaren edo Cauchyren irizpidea

$\forall n\ge n_0$   $\sqrt[n]{a_n}\le r<1$ bada, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r<1$ konbergentea izango da.

$\forall n\ge n_0$   $\sqrt[n]{a_n}\ge 1$  bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

Erregela praktikoa: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=l$ bada,

$l<1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ konbergentea izango da.

$l>1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

$l=1$ denean, zalantzazko kasua dugu.

Teorema Zatiduraren edo D'Alemberten irizpidea

$\forall n\ge n_0$    $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r<1$ bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ konbergentea izango da.

$\forall n\ge n_0$    $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$ bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

Erregela praktikoa: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$ bada,

$l<1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ konbergentea izango da.

$l>1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

$l=1$ denean, zalantzazko kasua dugu.

Teorema Raaberen irizpidea

$\forall n\ge n_0$  $n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\ge r>1$ bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ konbergentea izango da.

$\forall n\ge n_0$  $n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\le 1$ n  bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

Irizpide hau $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$ denean erabiliko dugu.

Erregela praktikoa : $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=l$ bada,

$l<1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ konbergentea izango da.

$l>1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ dibergentea izango da.

$l=1$ denean, zalantzazko kasua dugu.

Adibidea Azter dezagun ${\displaystyle \sum _n\frac{a^{\ln n}}{b^n}}$ seriearen izaera $a$ eta $b$ balioen arabera, $a,b>0$ izanik.

Erroaren irizpidea: $\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{a^{\ln n}}{b^n}}=\frac{a^{lnn/n}}{b}$ da eta, beraz, $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{b}$ da.

$\frac{1}{b}<1$, hau da, $b>1$ bada, ${\displaystyle \sum _n\frac{a^{\ln n}}{b^n}}$ konbergentea da.

$\frac{1}{b}>1$, hau da, $b<1$ bada, ${\displaystyle \sum _n\frac{a^{\ln n}}{b^n}}$ dibergentea da.

$\frac{1}{b}=1$, hau da, $b=1$ bada, zalantzazko kasua dugu. Hori argitzeko, zatiduraren irizpidea erabiliko dugu.

$b=1$ denean, ${\displaystyle \sum _n{a}^{\ln n}}$ seriea dugu.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a^{\ln \left(n+1\right)}}{a^{\ln n}}=a^{\ln \left(n+1\right)-\ln n}=a^{\ln \frac{n+1}{n}}$ dugu; eta limitea kalkulatuz, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{\ln \frac{n+1}{n}}=1$  

Hortaz, berriro ere zalantzazko kasua dugu.

Azkenik, Raaberen irizpidea erabiliko dugu.

$n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=n\left(1-a^{\ln \frac{n+1}{n}}\right)$  da, eta $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(1-a^{\ln \frac{n+1}{n}}\right)=-\ln a=\ln \frac{1}{a}$ .

$\ln \frac{1}{a}>1$, edo $\frac{1}{a}>e$, edo $a<\frac{1}{e}$ bada,  ${\displaystyle \sum _n{a}^{\ln n}}$ konbergentea da.

$\ln \frac{1}{a}<1$, edo $\frac{1}{a}<e$, edo $a>\frac{1}{e}$ bada,  ${\displaystyle \sum _n{a}^{\ln n}}$ dibergentea da.

$\ln \frac{1}{a}=1$, edo $\frac{1}{a}=e$, edo $a=\frac{1}{e}$ bada, ${\displaystyle \sum _n{\left(1/e\right)}^{\ln n}}={\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}$ serie harmonikoa dugu, eta hori dibergentea da.

Horrekin aukera guztiak aztertu ditugu, eta seriearen izaeraren azterketa bukatu dugu.

Serie alternatuak

Definizioa Izan bedi $\left\{a_n\right\}$segida, $a_n>0$ izanik.

${\displaystyle \sum _n{\left(-1\right)}^{n-1}{a}_n}=a_1-a_2+a_{}-a_4+\cdots$

serieari serie alternatu deituko diogu.

Gogoan izan segidaren gaiak positiboak direla baina seriearen gaiak positiboak eta negatiboak direla, txandaka; berdin “minus” zeinuarekin hasiz gero.

Teorema Leibnizen irizpidea

Izan bedi ${\displaystyle \sum _n{\left(-1\right)}^{n-1}{a}_n}$serie alternatua. $\left\{a_n\right\}$segida hertsiki beherakorra bada eta $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$ bada, ${\displaystyle \sum _n{\left(-1\right)}^{n-1}{a}_n}$serie alternatua konbergentea izango da.

Adibidea Azter dezagun ${\displaystyle \sum _n\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ serie alternatuaren izaera.

$\left\{a_n\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}$da; segida hori hertsiki beherakorra da, eta $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$. Orduan, Leibnizen teoremaren arabera, ${\displaystyle \sum _n\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ serie alternatua konbergentea da.

Gai positibo eta negatibotako serieak

Definizioa Gai positiboak eta negatiboak dituen ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea absolutuki konbergentea dela esango dugu balio absolutuen ${\displaystyle \sum _n\left|a_n\right|}$ seriea konbergentea denean.

Definizioa ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea konbergentea bada baina ez absolutuki konbergentea, baldintzaz konbergentea dela esango dugu.

Adibidea ${\displaystyle \sum _n\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ serie alternatua konbergentea dela ikusi dugu. Bestalde,

$\left|\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}\right|=\frac{1}{n}$

dugu; beraz, balio absolutuen seriea ${\displaystyle \sum _n\frac{1}{n}}$ serie harmonikoa da, dibergentea. Hortaz, ${\displaystyle \sum _n\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}}$ serie alternatua baldintzaz konbergentea da.

Teorema ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ serie absolutuki konbergentea bada, ${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ serie konbergentea da.

Teorema Riemannen teorema

${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ seriea baldintzaz konbergentea bada, bere gaiak komeni den bezala berrordenatuz, honelako serieak lor daitezke:

1. baturatzat balio finitu ezaguna duen serie konbergente bat;

2. serie dibergente bat;

3. serie oszilatzaile bat.

Teorema Dirichleten teorema

${\displaystyle \sum _n{a}_n}$ serie batek trukatze-propietatea beteko du baldin eta soilik baldin absolutuki konbergentea bada.