Definizioak

Definizioa $𝕂$ gorputza emanik, $m\times n$ dimentsioko matrize deritzo $m$ errenkada eta $n$ zutabe dituen eskalarren taulari:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

$m=n$  denean, matrizeari $n$ ordenako matrize karratu deritzo.

Idazkeran, matrizearen elementuak adierazteko, bi indize erabiltzen dira: $a_{ij}$ , lehenengo indizeak errenkada adierazten du eta bigarrenak, berriz, zutabea; hau da, $a_{ij}$  osagaia $i$. errenkadan eta $j$. zutabean dago. Adibidez, $a_{23}$ elementua bigarren errenkadan eta hirugarren zutabean dago.

$𝕂$-ren elementuak dituzten $m\times n$ dimentsioko matrizeen multzoa ${𝕂}^{\mathrm{m}\times \mathrm{n}}$ ikurrarekin adieraziko dugu.

Adibidea 

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& \sqrt{3}\\ -1.5& \pi & -\frac{2}{7}\end{array}\right)$

$ℝ$-ren gaineko $2\times 3$ dimentsioko matrizea da. Hau da, $A\in {ℝ}^{2\times 3}$ . Bigarren errenkadako eta lehenengo zutabeko elementua $a_{21}=-\mathrm{1,5}$  da.

Matrize bati zero matrize edo matrize nulu deituko diogu osagai guztiak $0$  badira. $0_{m\times n}$  edo, nahasgarria ez bada, $0$ adierazten da.

$0=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ , non $a_{ij}=0$  den, $i=\mathrm{1,}\dots ,m;j=\mathrm{1,}\dots ,n$

$0=$ $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋰& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$

Definizioa $A=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{n\times n}$  matrize karratua emanik, $a_{ii}$ osagaiek, $i=\mathrm{1,...,}n$, eratzen duten lerroari $A$ matrizearen diagonal nagusi deituko diogu.

Definizioa $n$   ordenako identitate matrize esango diogu diagonal nagusiko osagaien balioa $1$  eta gainerako osagaiena $0$  dituen $n$ ordenako matrize karratuari. $I_n$ ikurrarekin adieraziko dugu.

$I_n=\text{ (}a{}_{ij}\text{)}\in {\text{ <mo fontfamily="symbol">𝕂</mo> }}^{n\times n}\text{, }{a}_{ij}=\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& i=j\text{ bada}\\ \mathrm{0,}& i\ne j\text{ bada}\end{array}\text{, }i,j=l,\dots ,n\text{ izanik}\text{.}$

$I_n=\left(\begin{array}{cccc}\text{1}& \text{0}& \cdots & \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \cdots & \text{0}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \text{0}& \text{0}& \cdots & \text{1}\end{array}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ .

Definizioa $A=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrizea emanik, A-ren aurkako matrize deituko diogu osagaitzat

$A$-ren osagaien aurkakoak dituen $m\times n$ dimentsioko matrizeari. $-A$ adierazten da.

$-A=\left(b_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ , non $b_{ij}=-a_{ij}$  den, $i=\mathrm{1,}\dots ,m;j=\mathrm{1,}\dots ,n$

Definizioa $A=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrizea emanda, $A$-ren matrize irauli esaten zaio $i$. errenkadako eta $j$. zutabeko osagaia $a_{ji}$ duen matrizeari. Hau da, $A$-ren matrize iraulia lortzeko, zutabeak errenkada gisa jarri behar dira, eta errenkadak zutabe gisa. $A^T$ ikurrarekin adierazten da.

$A^T=\left(b_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ , non $b_{ij}=a_{ji}$  den , i = 1,…, n ; j = 1,…, m.

Oharra: ${\left(A^T\right)}^T=A$ da.

Adibidea Izan bedi   $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& \sqrt{3}\\ -\mathrm{1,5}& \pi & -\frac{2}{7}\end{array}\right)$

Hauek dira, hurrenez hurren, $A$-ren aurkako matrizea eta matrize iraulia:

$-A=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -\sqrt{3}\\ \mathrm{1,5}& -\pi & \frac{2}{7}\end{array}\right)\text{ ; }{A}^T=\left(\begin{array}{cc}2& -\mathrm{1,5}\\ 0& \pi \\ \sqrt[]{3}& -\frac{2}{7}\end{array}\right)$ .

Definizioa $A=\left(a_{ji}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$  matrize karratua emanik,

• $A$   simetrikoa da  $A^T=A$  bada, hau da, $a_{ij}=a_{ji}$  bada, $i,j=\mathrm{1,}\dots ,n$ .

  n ordenako matrize simetrikoen multzoa $S_n$ ikurrarekin adieraziko dugu:

$S_n:=\{A\in {𝕂}^{m\times n}:A^T=A\}$ ,

• $A$   antisimetrikoa da   $A^T=-A$  bada, hau da, $a_{ij}=-a_{ji}$  bada, $i,j=\mathrm{1,}\dots ,n$ .

  $n$ ordenako matrize antisimetrikoen multzoa $H_n$ ikurrarekin adieraziko dugu:

  $H_n:=\{A\in {𝕂}^{m\times n}:A^T=A\}$ .

Nabarmendu behar da matrize antisimetrikoetan diagonal nagusiko elementu guztiak $0$ direla; izan ere, $a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow -a_{ii}=0$ .

Definizioak $A=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrize karratua emanik,

• $A$   behe-triangeluarra da diagonal nagusiaren gaineko osagaiak $0$  badira: $a_{ij}=0$  $i<j$  denean.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot$

• $A$   goi-triangeluarra da diagonal nagusiaren azpiko osagaiak $0$  badira: $a_{ij}=0$  $i>j$  denean.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot$

• $A$   diagonala da diagonal nagusitik kanpo osagaiak $0$  badira: $a_{ij}=0$  $i\ne j$  denean. Hau da, $A$ behe- eta goi-triangeluarra da.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\cdot$

Definizioak

• $m$ dimentsioko zutabe-bektore esango diogu m errenkadako eta zutabe bakarreko $\bar{x}$ matrizeari:

$\bar{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right)\cdot$

• ${𝕂}^m$ ikurrarekin adieraziko dugu m dimentsioko zutabe-bektoreen multzoa. Hau da, ${𝕂}^{m\times 1}$ multzoa ${𝕂}^m$ gisa adieraziko dugu.

• m dimentsioko errenkada bektore esango diogu  $m$ zutabeko eta errenkada bakarreko matrizeari. Errenkada bektoreak zutabe-bektoreen irauliak dira.

${\bar{x}}^T=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& \cdots & x_m\end{array}\right)$

• $m$ dimentsioko errenkada bektoreen multzoa ${𝕂}^{1\times m}$  ikurrarekin adieraziko dugu.

Definizioa $A\in {𝕂}^{m\times n}$  matrizea emanik,

• $A$ matrizetik zenbait errenkada edota zutabe kentzean geratzen den matrizeari $A$-ren azpimatrize esango diogu.

• $A$-ren azpimatrize bat $A$-ren bloke bat da errenkaden eta zutabeen indizeak ondoz ondokoak badira.

Definizioa $n$ dimentsioko $I_n$ identitate matrizearen zutabeei n dimentsioko bektore unitario deritze. Guztira, $n$ dimentsioko $n$ bektore unitario daude: ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ .

${\bar{e}}_i$ bektoreak $i$ posizioan $1$ eta gainerakoetan $0$ dituen $n$ dimentsioko bektorea da.

${\text{<mover accent="true"> <mo> e ¯</mo> </mover>}}_i=i)\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ ⋮\\ \text{0}\\ \text{1}\\ \text{0}\\ ⋮\\ \text{0}\end{array}\right)\text{, }i=\mathrm{1,...,}n.$

Ohartu $I_n$ identitatearen zutabeak  ${\bar{e}}_1,\dots ,{\bar{e}}_n$ direla.

Eragiketak matrizeekin

Matrizeen arteko batuketa

Definizioa $m\times n$ dimentsioko bi matrize emanik, $A=\left(a_{ij}\right),B=\left(b_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ , $A$-ren eta $B$-ren arteko batura deritzo $—$ eta $A+B$  moduan adierazten da$—$ , $A$-ren eta $B$-ren osagaiak osagaiz osagai batuz lortzen den $m\times n$ dimentsioko $C=\left(c_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrizeari:

$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij},i=\mathrm{1,}\dots ,m;j=\mathrm{1,}\dots ,n.$

Propietateak

1. Bi matrizeren arteko batuketa trukakorra da:

   $\left(\forall A,B\in {𝕂}^{m\times n}\right)$          $A+B=B+A$ .

2. Bi matrizeren arteko batuketa elkarkorra da:

   $\left(\forall A,B,C\in {𝕂}^{m\times n}\right)$      $\left(A+B\right)+C=A+\left(B+C\right)$ .

3. Badago elementu neutroa, $0\in {𝕂}^{m\times n}$  

   $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$              $A+0=0+A=A$ .

4. $A\in {𝕂}^{m\times n}$ matrize orok badu aurkakoa, $\left(-A\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ :

   $A+\left(-A\right)=\left(-A\right)+A=0$ .

5. Baturaren iraulia iraulien batura da:

   $\left(\forall A,B\in {𝕂}^{m\times n}\right)$             ${\left(A+B\right)}^T=A^T+B^T$ .

Korolarioa $\left({𝕂}^{m\times n},+\right)$  talde abeldarra da.

Eskalarren eta matrizeen arteko biderketa

Definizioa $c\in 𝕂$ eskalarra eta $m\times n$ dimentsioko $A=\left(a_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrizea emanik, $c$-ren eta $A$-ren arteko biderkadura esaten zaio $—$ eta $c\cdot A$  (edo $cA$ ) moduan adierazi$—$ $A$-ren osagai bakoitza $c$ eskalarrarekin biderkatuz lortzen den $m\times n$ dimentsioko $B=\left(b_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ matrizeari:

$b_{ij}=c\cdot a_{ij},i=\mathrm{1,}\dots ,m;j=\mathrm{1,}\dots ,n.$

Propietateak

1. $\left(\forall c\in 𝕂\right)$  $\left(\forall A,B\in {𝕂}^{m\times n}\right)$                       $c\cdot \left(A+B\right)=c\cdot A$ .

2. $\left(\forall c,d\in 𝕂\right)$  $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$                  $\left(c+d\right)\cdot A=c\cdot A+d\cdot A$ .

3. $\left(\forall c,d\in 𝕂\right)$   $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$      $\left(c+d\right)\cdot A=c\cdot \left(d+A\right)$ .

$\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$      $1\cdot A=A$ .

4. Eskalar baten eta matrize baten arteko biderkaduraren iraulia eskalarraren eta matrizearen irauliaren arteko biderkadura da:

   $(\forall c\in 𝕂)>$ $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$         ${\left(c\cdot A\right)}^T=c\cdot A^T$ .

Korolarioa $\left({𝕂}^{m\times n},+,\cdot \right)$ bektore-espazioa da.

Errenkada bektoreen eta zutabe-bektoreen arteko biderketa

Definizioa   ${\bar{a}}^T=\left({\bar{a}}_1,\dots ,{\bar{a}}_n\right)\in {𝕂}^{m\times n}$ errenkada bektorea eta $\bar{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)\in {𝕂}^n$

Zutabe-bektorea emanik, ${\bar{a}}^T$ eta $\bar{b}$ bektoreen arteko biderkadura eskalar esaten zaio ${\bar{a}}^T$ bektorearen osagai bakoitza dagokion $\bar{b}$ bektorearen osagaiarekin biderkatu eta biderkadura guztiak batzean lortzen den eskalarrari:

${\bar{a}}^T\cdot \bar{b}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_{\text{1}}\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i}{b}_i.$

${\bar{a}}^T$ eta $\bar{b}$ bektoreen arteko biderkadura eskalarra ${\bar{a}}^T\cdot \bar{b}$  (edo ${\bar{a}}^T\bar{b}$ ) moduan adierazten da. Eragiketaren beste izen bat bektoreen arteko barne-biderketa da.

Adibidez Izan bitez ${\bar{a}}^{}=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -3\end{array}\right)\text{, }\bar{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)\in {ℝ}^3$ ; orduan ${\bar{a}}^T=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{4}& -\text{3}\end{array}\right)$ da eta

 ${\bar{a}}^T\cdot \bar{b}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{4}& -\text{3}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)=\text{ 1}\cdot \text{ 0}+\text{4}\cdot \text{ (}-\text{1) }+\text{ (}+\text{3) }\cdot \text{ 2}=\text{0}-\text{4}-\text{6}=-\text{10}\in$ $ℝ$ .

Matrizeen arteko biderketa

Definizioa $A\in {𝕂}^{m\times n}$  eta $B\in {𝕂}^{n\times p}$  bi matrize emanik, $A$-ren eta $B$-ren arteko biderkadura $A\cdot B$ (edo $AB$ ), $C=\left(c_{ij}\right)\in {𝕂}^{m\times p}$ matrizea da, non $c_{ij}$ osagaia $A$ matrizearen $i$. errenkadaren eta $B$  matrizearen $j$. zutabearen arteko biderkadura eskalarra den.

$c_{ij}=\left(a_{i1}\cdots a_{in}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ ⋮\\ b_{nj}\end{array}\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ik}{b}_{kj,}}i=\mathrm{1,...,}m;j=\mathrm{1,...,}p.$

$A$-ren eta $B$-ren arteko biderkadura kalkulatu ahal izateko, $A$-ren zutabe-kopuruak eta $B$-ren errenkada-kopuruak berdinak izan behar dute, eta emaitza $A$-ren errenkada-kopuru bera eta $B$-ren zutabe-kopuru bera dituen matrizea da.

$A\in {𝕂}^{m\times n}$ , $B\in {𝕂}^{n\times p}$ . $\Rightarrow A\cdot B\in {𝕂}^{m\times p}$

Adibidea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -2& 0\end{array}\right)\in {ℝ}^{2\times 3}$  eta $B=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 2& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right)\in {ℝ}^{3\times 4}$

matrizeak emanik, $C=A\cdot B\in {𝕂}^{2\times 4}$  honela kalkulatuko dugu:

${\bar{f}}_1=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{2}& -\text{1}\end{array}\right)\text{, }{\bar{f}}_2=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 0\end{array}\right)$

$A$ matrizearen errenkadak dira;

$\overline{b_1}=\left(\begin{array}{c}-\text{1}\\ \text{2}\\ \text{1}\end{array}\right)\text{, }\overline{b_2}=\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{0}\\ \text{1}\end{array}\right)\text{, }\overline{b_3}=\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ \text{1}\\ \text{0}\end{array}\right)\text{, }\overline{b_4}=\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ \text{0}\\ \text{0}\end{array}\right)$

$B$ matrizearen zutabeak dira;

$c_{\text{11}}={\bar{f}}_1\text{.}\overline{b_1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{2}& -\text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\text{ 1}\cdot \text{(}-\text{1) }+\text{2}\cdot \text{2 }+\text{(}-\text{1) }\cdot \text{1 }=\text{2}\text{,}$

$c_{12}={\bar{f}}_1\cdot \overline{b_2}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{2}& -\text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{0}\\ \text{1}\end{array}\right)=\text{1 }\cdot \text{1 }+\text{2 }\cdot \text{0 }+\text{(}-\text{1) }\cdot \text{1 }=\text{ 0}\text{,}$

$c_{13}={\bar{f}}_1\cdot \overline{b_3}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{2}& -\text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ \text{1}\\ \text{0}\end{array}\right)=\text{ 1}\cdot \text{0 }+\text{2}\cdot \text{1 }+\text{(}-\text{1) }\cdot \text{ 0}=\text{2}\text{,}$

$c_{14}={\bar{f}}_1\cdot \overline{b_4}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{2}& -\text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ \text{0}\\ \text{0}\end{array}\right)=\text{ 1}\cdot \text{ 0 }+\text{ 2}\cdot \text{0 }+\text{ (}-\text{1) }\cdot \text{0 }=\text{ 0;}$

$c_{21}={\bar{f}}_2\cdot \overline{b_1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{3}& -\text{2}& \text{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-\text{1}\\ \text{2}\\ \text{1}\end{array}\right)=\text{ 3}\cdot \text{ (}-\text{1) }+\text{ (}-\text{2) }\cdot \text{ 2}+\text{0}\cdot \text{ 1 }=-\text{7}\text{,}$

$c_{22}={\bar{f}}_2\cdot \overline{b_2}=\left(\begin{array}{ccc}\text{3}& -\text{2}& \text{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{1}\\ \text{0}\\ \text{1}\end{array}\right)=\text{3}\cdot \text{1 }+\text{ (}-\text{2)}\cdot \text{ 0}+\text{ 0}\cdot \text{1 }=\text{3}\text{,}$

$c_{23}={\bar{f}}_2\cdot \overline{b_3}=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{0}\\ \text{1}\\ \text{0}\end{array}\right)=\text{ 3}\cdot \text{0 }+\text{(}-\text{2)}\cdot \text{ 1}+\text{ 0}\cdot \text{0 }=-\text{2}\text{,}$

$c_{24}={\bar{f}}_2\cdot \overline{b_4}=\left(\begin{array}{ccc}\text{3}& -\text{2}& \text{0}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\text{ 3}\cdot \text{0 }+\text{ (}-\text{2)}\cdot \text{ 0 }+\text{0}\cdot \text{0}=\text{0}\text{.}$

Beraz,

$C=AB=\left(\begin{array}{cccc}\text{2}& \text{0}& \text{2}& \text{0}\\ -\text{7}& \text{3}& -\text{2}& \text{0}\end{array}\right)\text{.}$

Propietateak

1. Matrizeen arteko biderketa elkarkorra da:

   $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$   $\left(\forall B\in {𝕂}^{n\times p}\right)$  $\left(\forall C\in {𝕂}^{p\times q}\right)$             $\left(A\cdot B\right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C\right)$ .

2. Matrizeen arteko biderketa banakorra da batuketarekiko:

   $\left(\forall A,B\in {𝕂}^{m\times n}\right)$  $\left(\forall C\in {𝕂}^{n\times p}\right)$                      $\left(A+B\right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ .

   $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$  $\left(\forall B,C\in {𝕂}^{n\times p}\right)$          $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$ .

3. $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$      $A\cdot 0_{n\times p}=0_{m\times p}\text{;}$  $0_{q\times m}\cdot A=0_{q\times n}$ .

4. $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$      $I_m\cdot A=A\cdot I_n=A$ .

5. $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$  $\left(\forall B\in {𝕂}^{n\times p}\right)$      $c\cdot \left(A\cdot B\right)=\left(c\cdot A\right)\cdot B=A\cdot \left(c\cdot B\right)$ .

6. Matrizeen arteko biderkaduraren iraulia matrize iraulien arteko biderkadura da, baina ordena aldatuz:

   $\left(\forall A\in {𝕂}^{m\times n}\right)$ $\left(\forall B\in {𝕂}^{n\times p}\right)$    ${\left(A\cdot B\right)}^T=B^T\cdot A^T$  .

Oharra Oro har, matrizeen arteko biderketa ez da barne-eragiketa bitarra ${𝕂}^{m\times n}$ multzoan; m ≠ $n$ bada, ezin dira $A,B\in {𝕂}^{m\times n}$  biderkatu. Baina $m=n$ bada, alegia, ordena bereko matrize karratuen kasuan, biderketa egin daiteke eta, gainera, emaitza ere ordena bereko matrize karratua da.

Beraz, ${𝕂}^{n\times n}$ multzoan matrizeen arteko biderketa barne-eragiketa bitarra da:

$A,B\in {𝕂}^{n\times n}$ $\Rightarrow A\cdot B\in {𝕂}^{n\times n}$

Korolarioa $\left({𝕂}^{n\times n},+,\cdot \right)$ eraztun unitarioa da. Biderketarako elementu neutroa $I_n$ identitate matrizea da.

Oharra Oro har, matrizeen arteko biderketa ez da trukakorra. Adibidez,

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\text{1}& \text{0}\\ \text{0}& \text{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{1}& \text{10}\\ \text{0}& \text{5}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\text{1}& \text{2}\\ \text{0}& \text{5}\end{array}\right)$

Matrize alderantzikagarriak

Definizioa $A\in {𝕂}^{n\times n}$ matrize karratua emanik, esango dugu $A$ alderantzikagarria dela biderketarako simetrikoa baldin badu:

$\exists A^{-1}\in {𝕂}^{m\times m}$ , non $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$  den.

Ohi den moduan, $A^{-1}$ matrizeari $A$-ren alderantzizko esaten zaio.

Adibidea 

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ -\text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{.}$

Hortaz,

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$  alderantzikagarria da eta ${\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ -\text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)\text{ ;}$

baina

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$  ere alderantzikagarria da eta ${\left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)}^{-1}= \left(\begin{array}{ccc}\text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ -\text{2}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right)\text{.}$

Propietateak

1. Matrize baten alderantzizkoa existitzen bada, bakarra da.

2. $A\in {𝕂}^{n\times n}$ emanik,

   $A$  alderantzikagarria $\Rightarrow$ $A^{-1}$  alderantzikagarria da eta ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$  .

3. Matrize alderantzikagarrien arteko biderkadura matrize alderantzikagarria da, eta alderantzizkoa alderantzizkoen arteko biderkadura da, baina ordena aldatuta.

   $A,B\in {𝕂}^{n\times n}$ emanik,

   $A,B$ alderantzikagarriak $\Rightarrow$ $A\cdot B$ alderantzikagarria da eta ${\left(A\cdot B\right)}^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$ .

4. $A\in {𝕂}^{n\times n}$  emanik,

   $A$ alderantzikagarria $\Rightarrow$ $A$ erregularra $(\cdot )$ eragiketarekiko.

   ${Gl}_n\left(𝕂\right)$n ordenako matrize alderantzikagarrien multzoa emanik,

   ${Gl}_n\left(𝕂\right)$   $=\left\{A\in {𝕂}^{n\times n}:\exists A^{-1}\in {𝕂}^{n\times n}\right\}$ ,

5. (Gl _n$\left(𝕂\right)$,·)taldea da. Talde horri n ordenako talde lineal esaten zaio.

6. Matrize alderantzikagarri baten iraulia alderantzikagarria da, eta irauliaren alderantzizkoa, alderantzizkoaren iraulia. $A\in {𝕂}^{n\times n}$  emanik,

   $A\in$Gl _n $\left(𝕂\right)$  (hau da, $A$ alderantzikagarria) $\Rightarrow A^T\in$   Gl_n $\left(𝕂\right)$  eta  ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$ .