Izena eta izana

Matematika izena grekotik dator: erroan μάθημα (máthema) hitza du, jakintza, hain zuzen ere; hortik sortu zen μαθηματικόζ (mathematikós), jakintzari dagokiona. Zenbatzea eta neurtzea dira matematikarekin zerikusia duten lehen jarduerak, eta greziar zibilizazioa baino askoz lehenago ere agertzen dira. Horiekin batera, oinarrizko eragiketak aurkituko ditugu, bai eta beste jarduera aurreratuago batzuk ere (erro karratu eta kubikoak, ekuazio berezi batzuen ebazpena, trigonometriaren lehen urratsak).

Babiloniatik eta Egiptotik heldu zen matematika Greziara. Mito bihurtu diren Tales eta Pitagoras dira guregana heldu diren matematikarien izenik zaharrenak (K.a. VI. mendea), eta haien izenekin lotzen dira geometriako emaitza ezagunenetako batzuk (Talesen teorema, Pitagorasen teorema). Baina emaitzetatik haratago, Grezian matematikak gaur arte gorde dituen ezaugarri nagusiak hartu zituen: definizio zehatzak, axiomak eta hipotesiak, froga arrazoituak. Greziako eskola filosofikoek logikan lorturiko trebezia dago jarrera horren atzean, jakina. Eta horrela, izena ez ezik, matematikaren izana ere greziar kulturan zehaztu zen.

Matematika ez da esperimentuetan eta horien emaitzetan oinarritzen, beste zientziek egiten duten bezala. Hala izan behar du, matematikako objektuak ez direlako mundu errealekoak, nahiz mundu errealaren azterketarako baliagarriak izan, beste zientzien bitartez. Matematikak, aldez aurretik onartutako axioma eta postulatuetatik abiatuta, hipotesi batzuk betez egiazkoak diren proposizioak (teoremak) sortzen ditu, hipotesietatik ondorioetara arrazoibide logiko bati jarraituz. Bideko urrats guztien justifikazio logikoak ematen dio egiazkotasun matematikoa proposizioari, hain zuzen ere. Ezagutzen dugun matematikako libururik zaharrena eta zabalduena Elementuak da. K.a. IV. mendean Euklidesek idatzia, ordura arte lorturiko emaitza askoren bilduma da, ziur aski, eta ez pertsona bakar baten sormen-lana. Harrigarria da zein kalitate handikoa den, hain aspaldikoa izateko. Lan horretan ezarri zen matematikaren metodoa era praktikoan, geometria deskribatuz, eta aurrerantzean matematika-jardueraren eredu bihurtu zen.

Matematikaren hizkera eta idazkera

Matematikak, zientzia guztiek bezala, bere kontzeptuak adierazteko termino egokiak behar ditu. Grezian hain garatuta egoteagatik, ordudanik gorde ditu hainbat termino: teorema, parabola, hipotenusa eta abar. Mendebaldeko Europan errotu eta matematika berria ekoizten hasi zirenean, latina zen artean kultura-hizkuntza nagusia, baina tokiko hizkuntzak ere erabiltzen hasita zeuden. XX. mendera heldu arte, frantsesa eta alemana izan ziren matematikarien hizkuntza nagusiak, Frantzia eta Alemania izan zirelako matematikari handienen sorleku. Ingelesak hartu zuen apurka-apurka haien lekua. Matematikak behar zituen termino berriak hizkuntza horietan sortu ziren lehen aldiz; gero, maileguz edo zabalkuntza semantikoz, beste hizkuntzetara pasatu ziren. Joera kultuari jarraituz sortu ziren terminoak (homomorfismo, topologia) mailegatuta heltzen dira beti; zabalkuntza semantikoz berba zaharrei esanahi berri bat gehitu zaienean, berba arruntaren bila jo ohi da (talde, ireki, erro).

Termino espezializatuak sortzeko ez bada beste zientzien joeratik aldentzen ere, badu matematikak ezaugarri berezi bat: idazkera sinbolikoa. Liburu zaharretan prosa arrunta da nagusi, eta irudi geometrikoak tartekatzen dira. Baina ekuazioen ezezagunak eta datuak adierazteko letrak eta eragiketak azaltzeko ikurrak erabiltzeak asko erraztu zuen aljebrari klasikoen lana. XVI. mendetik aurrera, joera hori handituz joan zen, matematikak berezko duen arlo teknikoa asko sinplifikatzen zela konturatuta. Denok ezagutzen dugun zifren kasuarekin alderatu dezakegu egoera hori. Indiarrek eta arabiarrek zifren idazkera posizionala (eta zeroa) sortu eta hedatzeak izugarrizko aurrerapena ekarri zuen kalkulura, erromatarren idazkeraren aldean. Garrantzi berbera aurki dezakegu ikur matematikoen erabileran: batetik, ikurrak kontzeptua adierazten du; bestetik, kalkulu matematikoak asko errazten ditu. Matematikako testuen itxura erabat aldatu zuen idazkera sinbolikoak, eta ez matematikakoena bakarrik, tresna modura erabiltzen duten beste zientziek ere idazkera formala bere egin baitute.

Atalak eta azpiatalak

Aritmetika

Zenbatzea eta neurtzea badaude matematikaren sorreran, horien forma abstraktuak lantzetik sortu ziren matematikaren atal klasikoak: aritmetika eta geometria. Ez guztiz bananduta, hala ere, zenbakien propietateak aztertzeko luzerak edo azalerak kontuan hartzea ohikoa baitzen, adibidez. Aritmetika eta geometria ziren, hain zuzen ere, astronomia eta musikarekin batera, Erdi Aroko unibertsitateetan irakasten zen Quadrivium aren osagaiak.

Aritmetika izena oinarrizko eragiketekin —“lau erregelekin”— lotzen da askotan. Baina jadanik Euklidesen Elementu etan, zenbakien eragiketa arruntak baino askoz gehiago aurkitu daiteke, hala nola zenbaki lehenen inguruko emaitzak, zenbaki perfektuak eta abar. Diofantok (K.o. III. mendea) koefiziente osoak dituzten zenbait ekuazio aztertu zituen, soluzio osoak bilatuz, eta hori izan zen Fermaten lanen abiapuntua XVII. mendean. Fermat, Euler eta Gauss izan ziren “goi-mailako aritmetikari” estatus berezia eman ziotenak. Zenbaki osoen propietateak aztertzen dituen matematikaren arloa izendatzeko aritmetika izena guztiz baztertu ez bada ere, gehienetan zenbaki-teoria izenaz ezagutzen da. Zenbaki-multzorik oinarrizkoenaren propietateak helburutzat dituen arren, teknikek ezinbestean irten behar dute hain multzo txikitik, eta zenbaki errealak edo konplexuak eta horien arteko funtzioak erabiltzen dituzten metodoak baliatu behar dira sarritan. Metodoen pisua aljebraikoa edo analitikoa izan, zenbaki-teoriari dagokion adjektiboa jar dakioke (zenbaki-teoria aljebraikoa, zenbaki-teoria analitikoa).

Geometria

Euklidesen liburuaren zatirik handiena geometriak hartu zuen. Bi mila urte eta gehiago iraun zuen geometria horrek matematikako irakaskuntzaren oinarrietako bat izaten. Geometria euklidearra —horrela izendatzen dugu— era abstraktuan azalduta agertu arren, inguruko mundu fisikoak iradokia zen, eta hura deskribatzeko balio zuela onartzen zen.

Koordenatuen erabilerak eragin handia izan zuen geometrian. XVII. mendeko ekarpena, Descartesen lanarekin lotzen da haren lehen formulazio egokia eta, horregatik, geometria kartesiar deritzo (geometria analitikoa). Ikuspegi berri horrek planoko puntu bakoitza zenbaki-bikote batekin identifikatzen du, eta, horren bitartez, aldagai biko ekuazioak, planoko kurbekin. Beste zerbait ere ekarri zuen metodo berriak, eta hori izan zen haren arrakastaren arrazoi bat: zenbait problema geometriko era aljebraikoan formulatzeko balio zuen, eta, horrela, aljebraren metodoen bidez ebatzi ahal ziren. Geometria analitikoa sortu eta laster, kalkulu infinitesimala sortu zen. Horretan, ohiko egin zen funtzioekin lan egitea, eta, koordenatuen bidez funtzioaren grafikoa (kurba) eta funtzioak definitzen zuen ekuazioa identifikatuz, kalkuluaren metodoak ere sartu ziren geometriaren estudioan. XVIII. mendean, geometria analitikoan hirugarren koordenatua sartuz, espazioko gainazalek ere kurben antzeko tratamendua lortu zuten.

Euklidesen geometria bost postulatutan oinarritzen zen. Bosgarrenaren arabera, zuzen bat eta bertan ez dagoen puntu bat emanda, beti dago zuzen bat eta bat bakarrik puntutik pasatzen dena eta hasierako zuzenaren paraleloa dena. Nahiz hori ez den Euklidesek ematen duen formulazioa, harenaren baliokidea da eta ezagunagoa; paraleloen postulatu deritzo. Teorema bat frogatzeko postulatuak erabili ahal ziren, edo aurretik frogaturiko beste teorema batzuk. Paraleloen postulatua benetan onartu behar zen edo besteak erabiliz frogatu zitekeen, matematikarien arteko galdera nagusia izan zen. Jadanik Antzinako Grezian egin ziren ondorio zela frogatzeko saioak, bai eta arabiarren artean ere, Erdi Aroan. Mendebaldeko Europako matematika nagusitu zenean, ahaleginek segitu zuten, denek alferrik. Ezin zen bestela izan, paraleloen postulatua ez baita beste postulatuen menpeko. XIX. mendean jakin zen hori, eta Bolyai hungariarrak eta Lobatxevski errusiarrak partekatzen dute erantzuna aurkitzearen ohorea. Horretarako, ez bat, infinitu zuzen paralelo pasarazi zituzten puntu beretik, eta geometria berria sortu, askotan geometria euklidearraren ohiko propietateetatik urrunduz, intuizioaren aurka. Geometria berriari ez-euklidear deitu zioten. Horren onarpena ez zen arazorik gabe gertatu: mundua deskribatzeko geometria egokia euklidearra zela aldarrikatzen zutenek ez zioten ez buru ez hankarik ikusten proposamen berriari. Matematikoki onargarria zela ikusi zen laster, geometria euklidearraren barruan ez-euklidearrak eraikitzea posible zela erakutsiz.

Geometria ez-euklidearra sortu zen garai bertsuan, beste jauzi bat egin zuen geometriak. Riemannek bere habilitazio-lan ospetsuan geometria bakoitzaren oinarrian jarri zituen puntu-multzo bat (barietate bat) eta kurba batean zehar distantzia neurtzeko modu bat. Distantzia euklidearra behar da geometria euklidearra definitzeko, eta beste distantzia batzuek beste geometria batzuk ematen dituzte. Adibide tipikoa esfera baten gaineko geometria da. Riemannen geometrian dimentsioa edozein izan zitekeen, barietateek ez dute zertan izan hiru dimentsioko espazioaren parte, esaterako. Horrela, Riemannek Gaussen gainazalen teoria edozein dimentsiotako espazioetara eraman zuen. Kalkulu infinitesimalaren metodoak erabiltzen dituelako geometria diferentzial deritzon arloaren parte da. Geometria riemanniarrak ere ez ditu oro har geometria euklidearraren postulatuak betetzen. Adibidez, esferaren geometrian “zuzenak” zirkulu maximoak dira, eta bistan da ez dagoela zuzen paralelorik, ez eta zuzen infiniturik ere. XX. mendearen hasieran, arrakasta handia izan zen fisikaren teoria berriek (erlatibitatea) espazioa deskribatzeko geometria euklidearra utzi eta riemanniarra erabiltzea.

Aipa dezagun azkenik Hilberten ekarpena. Planoko geometriarako axioma-sistema berria proposatu zuen, eta, hala, Euklidesena osatu zuen. Logikak eskatzen duen moduan sistema formaltzat hartu behar da, intuizioa erabat alde batera utzita, eta, horrela, puntu, zuzen edo plano dioen tokian beste edozein hitz jarrita, nahiz mundu fisikoaren objektuekin loturarik ez izan, sistema kontsistentea da logikaren zentzuan.

Aljebra

Kultura klasikoak desagertu arren, matematikaren bidea ez zen guztiz eten, Ekialdeko herrialdeetako (Txina, India, Arabia) kulturei esker. Greziako matematika transmititu ez ezik, lan berriak ere sortu zituzten, eta ekuazioen ebazpena da horien adibide bat. Grezian, askotan ekuazioari lotutako metodoak erabiltzen baziren ere, Indian eta, batez ere, Arabian, metodo orokorrak aurkituko ditugu. Ekuazio polinomikoen gaiak manipulatzeko erregelak zituzten, eta arte horri aljebra izena eman zioten; hala, arabieran oinarritutako termino bat sortu zuten. Zerikusi handia izan zuen aljebraren garapenean matematika sinbolikoak (hori bera alderantziz ere esan daiteke: aljebraren metodoek matematika sinbolikoa sorrarazi zuten), ezezagunak eta datuak letren bidez eta eragiketak letra edo ikurren bidez adieraziz, manipulazio formalak asko erraztu ziren.

Polinomioen erroen bilaketatik etorri zen aljebra modernoaren sorrera. XVI. mendeko aljebrari italiarrek hirugarren eta laugarren mailako polinomioen erroak kalkulatzeko erregelak aurkitu eta gero (Del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari), bosgarren mailakoak ziren helburu. Baina XIX. mendean Abel norvegiarrak erroen bidezko formula baten ezintasuna frogatu zuen, eta handik laster Galois frantsesak teoria orokorra eratu zuen, simetriak aztertuta. Hor kokatu behar dugu egitura aljebraikoen sorrera, talde deitzen dugun egiturarena, hain zuzen. Handik aurrera, aljebra berriak ekuazioen manipulazioa erabat gainditu eta egitura aljebraikoak eta haien arteko erlazioak aztertzeari ekin zion. Beste matematikako atal batzuen moduan, XIX. mendean aljebrak modernizazioaren bidea hartu zuen.

Analisi matematikoa

Greziar matematika mantendu eta zabaldu zuten Ekialdeko kulturek aritmetika eta geometria landu zuten haren moduan. Matematikari benetan atal berri bat eransteko, XVII. mendera arte itxaron behar izan zen, orduan sortu baitzen kalkulu infinitesimala. Zuzen ukitzaileen eta azaleren kalkulua, jatorri geometrikoko problemak biak, daude sorrera horren atzean. Ordurako, geometria analitikoaren bitartez, kurbak funtzio modura ikusteko urratsa emanda zegoen, eta problema geometriko horiek funtzioen gaineko eragiketa moduan uler daitezke (deribazioa eta integrazioa). Newton eta Leibniz, nor bere aldetik, gauza izan ziren eragiketa horiek elkarren alderantzizkoak zirela zehazteko, eta, hortaz, integralen kalkulurako bide bat asmatu zuten.

Horrekin batera, deribatua funtsezkoa izan zen magnitudeen aldaketa-tasa neurtzeko, eta, horrela, fisikaren legeak deribatuen arteko erlazioen bidez (hau da, ekuazio diferentzialen bidez) eman zitezkeen. Horrek guztiak berebiziko garrantzia eman zion kalkulu infinitesimalari, eta geldi ezinezko garapena ekarri zion, metodo eta kontzeptu berriak bilduz.

Newton eta Leibnizekin sorturiko kalkulu infinitesimala izugarri garatu zen XVIII. mendean, Eulerren lanari esker batik bat, baina D’Alembert, Bernoulli familia edo Lagrange ahaztu gabe. Garai hartan, matematikaren atalik garrantzitsuena zen, baina egotzi zioten oinarri sendoen falta gainetik kendu ezinik zebilen. Kalkuluek “emaitza zuzena” lortzen zutela, hori zuen alde, ez, ordea, arrazoiketa logikoak, geometriako teoremek zuten bezala. XIX. mendean hasi ziren matematikariak formulazio egoki baten bila, kontraesanak ekidin behar zirela sinetsita. Bolzano eta Cauchyrekin abiatu eta Weiertrassen garaian burutu zen prozesuak aldaketa sakonak ekarri zizkion teoriaren agerpen formalari, eta kalkulu huts izatetik teoria matematiko sendoa izatera pasatu zen; horrenbestez, analisi matematiko bilakatu zen. Oinarrien berrikusketa hori matematika osora iritsi zen, sarritan analisian sortu ziren arazoei aurre egiteko.

Gerora gertatu den bezala, oinarri formalen bilaketatik eta eztabaida filosofikotik at bizi ziren matematikari asko, eta analisiaren garapen propioa ez zen eten: ekuazio diferentzialen teoria kualitatiboa eta sistema dinamikoak, Fourierren serieak, aldagai konplexuko funtzioen teoria, integrazio-teoriak eta, jada XX. mendearen hasieran, analisi funtzionala. Analisi matematikoaren mundua asko zabaldu zen, bai eta haren aplikazioena ere.

Multzo-teoria eta matematikaren oinarriak

Serie trigonometrikoen bakartasunari loturiko problema bat —analisikoa, beraz— dago Cantorrek puntu-multzoen propietateak ikertzeko izan zituen arrazoien ostean. Kontzeptu topologiko bat asmatu zuen (multzo deribatua), eta horren bidez sailkapen bat sortu zuen. Gero, multzoen tamainak elkarren artean konparatzeko, bijekzio baten existentzia dagoen edo ez ikustea proposatu zuen, eta horrela erabaki zuen multzo infinitu guztiak ez direla “tamaina” berekoak. Hortik, bere kardinalen teoria sortu zuen. Zenbaki errealen multzorako eraikuntza bat ere proposatu zuen, zenbaki erreal bakoitza zenbaki arrazionalen Cauchyren segida-klase baten bidez definituz.

Hori guztia gertatu orduko, logika matematikoa izango zena hasi zen bere bidea egiten (Boole, De Morgan) XIX. mendearen erdialdean. Gero, matematikaren oinarrirako egitura formal modura hartu zuten logika, eta axiomatikoki definituriko multzo-teoria (Zermelo) matematikaren hastapenean jarri zen. Zenbaki arrunten multzoa ere axiomatikoki eman zuen Peanok, eta beste zenbaki-multzoak (osoak, arrazionalak, errealak, konplexuak) hortik eratorri ziren, eraikuntza egokiak asmatuz.

Sistema axiomatiko egoki bat matematika osoaren oinarritzat har zitekeela eta, proposizio bat emanda, sistema horretan egia edo gezurra izango zela uste zutenek sorpresa harrigarria hartu zuten Gödelen teoremarekin: sistema finitu batek aritmetika barne hartzen badu, proposizio erabakiezinak ditu. Garai garrantzitsuak bizi izan zituen matematikaren oinarrien eztabaidak, eta beste arloetan ari ziren zenbait matematikari sonatu erakarri zituen. Gero, horretaz arduratu gabe ere matematika egin daitekeela eta indarra galdu du, eta gaur egun ez da duela ehun urte bezain arrakastatsua.

Topologia

Topologia geometriaren atal modura sortu zen XIX. mendean, baina, gero hartu duen garrantzia ikusita, XX. mendean batez ere, atal bereizitzat har dezakegu. Transformazio jarraituek gordetzen dituzten propietateak aztertzea du helburu, batzuetan sailkapenak egiteko propietate horien arabera.

Poliedro konbexu baten erpin-, ertz- eta aurpegi-kopuruak lotzen dituen Eulerren formula aipatzen da topologiako emaitzen aitzindarien artean, baina Riemannen analisi konplexuko eta geometriako lanek ireki zuten topologiaranzko bidea. Alde batetik, gainazalen kontzeptua orokortu zuen, eta edozein dimentsiotako objektuak hartu zituen; bestetik, ohiko gainazalen sailkapen bat egiten saiatu zen. Bietarako kontzeptu berriak sortu behar izan zituen. Riemannen lanen ondotik, beste zenbait kontzeptu topologiko agertu ziren barietateen ikerketan, baina, Poincarék esku hartu zuenean, jauzi handi bat egin zuen topologiak. Gaur egun klasikotzat jotzen dugun artikulu-sorta baten bidez, ideia berriak proposatu zituen, eta topologia benetako heldutasunera iritsi zen.

Aipatu dugun topologiari aljebraiko deritzo, topologia orokor deitzen denetik desberdintzeko. Horrek multzoekin egiten du lan, berdin da geometrikoak izan zein ez, eta hurbiltasuna definitu ondoren (distantzia baten bitartez, adibidez), jarraitutasuna, konexutasuna, trinkotasuna eta antzeko kontzeptuak aztertzen ditu. Bere bide propioa ibiltzeaz gain, egitura topologikoak ikertuz, analisi modernoaren oinarrietan dagoen gaia da topologia orokorra.

Estatistika eta probabilitatea

Zorizko jokoek iradoki zuten probabilitatearen kontzeptua. Jokalarien arteko irabazien eta galeren banaketak haietariko bakoitzak irabazteko duen aukeren araberakoa izan behar du, baina hori kuantitatiboki neurtu behar da. Ez zen harrigarria bada matematikan aditu zirenengana jotzea laguntza eske. XVII. mendean Pascal eta Fermaten artean ebatzi zuten horrelako egoera bat jotzen da probabilitate matematikoaren aitzindaritzat.

Jakob Bernoulliren Ars conjectandi hil osteko liburua (1713) urrats handia izan zen. Lan horretan, probabilitateak kalkulatzeko erregelak eman zituen, eta probabilitatea maiztasunarekin erlazionatu zuen: adibide batez esateko, txanpon bat botatzean aurpegia ateratzeko probabilitatea 1/2 bada, txanpona askotan botata, aldien erdietan gutxi gorabehera aurpegia aterako da. Bernoulliren argitalpenetik ehun urte pasatu eta Laplaceren liburu klasikoa heldu zen (1812). Mende horretan, asko aurreratu zuen probabilitateak, bai oinarri teorikoetan bai aplikazioetan, eta dena bildu zuen Laplacek bere liburuan. Aplikazioek, adibidez, zorizko jokoetatik haratago, datuen analisia hartu zuten estatistikaren laguntzaile gisa. Probabilitate bereko oinarrizko gertaerak hartuta, gertaera jakin baten probabilitatea kasu aldekoen eta kasu posible guztien arteko erlaziotzat hartu zuen Laplacek, eta horrek garrantzi handia eman zion konbinatoriari, kasu horiek kontatzeko tresna modura.

Beste teoria matematiko batzuen erara, probabilitatea ere axiomatikoki formulatu zen. Hori XX. mendean gertatu zen, eta Kolmogorov matematikari errusiarrari zor zaio: integralaren kontzeptua hedatzeko garatu zen neurriaren teoria baliatu zuen.

Estatistika datu-bildumen azterketaz eta interpretazioaz arduratzen den matematikaren atala da. XVII. mendeko kezken artean, aseguruen arriskuak, urteko errentak, pentsioen ordainketarako kalkuluak eta abar zeuden, eta datu demografikoen eta ekonomikoen erabilera agertu zen. Estatuek zituzten datu-bilduma gehienak eta datuon azterketarako interes nagusia, eta horrek eman zion izena estatistikari. Kontzeptu eta teknika estatistikoak sortu ziren, eta XIX. mendetik aurrera datuen analisirako zientzia modura garatu zen. Jadanik aurreko mendetik probabilitatearekin erlazionatuta ageri zen.

Estatistikaren barruan, atal bi aipa daitezke: estatistika deskribatzailea eta inferentzia estatistikoa. Lehena datuetatik ateratzen diren ezaugarriak emateko erabiltzen da; bigarrenak lagin batetik abiatuta populazioaren ezaugarriak ondorioztatzea du helburu.

Matematika aplikatua

Matematikarik zaharrena mundu errealari lotuta agertu zen: salerosketa, uzta-bilketa, astronomiako gertaeren iragarpena eta abar. Nahiz eta gero izaera abstraktuak bere barne-garapena eragin, aplikazioei zuzenduriko matematika ez da inoiz desagertu, eta matematika teorikoa eta praktikoa biak batera bizi dira. Matematikak, egoera erreal batean aplikatzeko, eredu bat sortu behar du. Eredua benetako problemaren sinplifikazioa da, eta abstraktua da, matematikako objektuen bitartez eraikitzen da. Ereduaren emaitza zehatza edo hurbildua lortzen da tresna matematikoak erabiliz, eta emaitza hori egoera errealaren terminoetan interpretatzen da.

Matematikaren aplikazio klasiko gehienak geometria zuten oinarri. Izugarrizko aldaketa kualitatibo eta kuantitatiboa ekarri zuen matematikaren aplikazioetara kalkulu infinitesimalaren sorrerak. Fisikako legeak magnitudeen aldakuntzen bidez azaltzen direnez, eta horiek deribatuen bidez, ekuazio diferentzialak bilakatu ziren lege horien adierazpen matematikorako tresna (hots, eredu matematikoa). Ekuazioa ebatziz, fenomeno fisikoaren bilakaera ematen du matematikak. Ez fisikan bakarrik, beste zientzia batzuetan gertatzen diren fenomenoak azaltzeko ere baliatzen dira ekuazio diferentzialak eredu matematikoak sortzeko.

Kalkulu infinitesimalarekin lehen iraultza etorri bazen matematikaren aplikazioetara, bigarrena askoz berriagoa da, ordenagailuak ekarri baitzuen. Ohikoa da matematikak ezin ematea ebazpen zehatzak ekuazioetarako, eta, orduan, hurbilketak egin behar izaten ditu. Bestela ere, datu errealak matematikako objektu idealen hurbilketa dira beti. Gainera, benetako emaitza ezezagunaren eta hurbilketak emandakoaren arteko errorea kontrolatu behar da. Hurbilketa egokiak proposatzea eta erroreak aztertzea matematikaren lana dira. Praktikan, kalkulu hurbilduak itzel handiak izan daitezke denbora errealean egiteko (ez luke ezertarako balioko biharko eguraldiaren iragarpena etzirako prest egotea). Bestela bukaezinak izango liratekeen kalkuluak egiteko, funtsezkoa izan zen eta da ordenagailua.

Gaur egungo mundu teknologikoa ezin uler daiteke matematikaren ekarpenik gabe. Zientzia eta teknologiaren zutabe saihestezina bihurtu zaigu matematika. Gizarte zientzietan ere geroz eta erabiliagoak dira eredu matematikoak. Batzuetan, matematikaren tresneria ezaguna nahikoa da aplikazioetarako; beste batzuetan, ebatzi beharreko ereduak tresna matematiko berriak eskatzen ditu, eta ikerketa matematikoa bultzatzen du. Horrela, matematika teorikoa eta aplikazioa ezin bizi daitezke elkarrengandik erabat aparte.