Determinismo laplacetarra

Zientzian determinismo deritzo Pierre Simon de Laplacek, bere Essai philosophique sur les probabilités liburuaren sarreran, aurkeztu zuen ideiari:

Sistema edo fenomeno-multzo baten benetako legeak ezagutzen badira eta hasierako une batean sistemaren egoera ezaguna bada, aipaturiko legeek emandako eboluzio-ekuazioak ebazteko gai denak etorkizuna (eta iragana) ezagutuko du doitasun osoarekin.

Paradigma horrek, alabaina, oztopo izugarriak aurki ditzake praktikan. Hasteko, benetako legeen ezagutza partziala izaten da (gainera, mekanika kuantikoan gertatzen den bezala, probabilitate-legeak izan daitezke eboluzioa deskribatzen dutenak). Bestalde, eboluzio-ekuazioak era zehatzean ebaztea ezinezkoa gertatzen da gehienetan, eta metodo hurbilduetara jo behar da. Baina, gure jakinduriaren eta kalkulu-metodoen mugak alde batera utzita, bestelako oztopo bat, oinarrizkoagoa dena, jar diezaioke iragarpenari eboluzio-legeen egitura matematikoak berak: kaosa.

Sistema dinamiko kaotikoak

Eboluzioa deskribatzeko, sistema dinamiko deritzen tresna matematikoak erabiltzen dira fisikan, ekonomian, ekologian eta zientziaren hainbat arlotan. Sistema dinamikoen artean, deterministak direnak interesatzen zaizkigu hemen: horrelakoetan, existentzia eta bakartasunaren teorema egokiaren arabera, hastapen-baldintzen multzo bakoitzeko (adibidez, hasierako posizioak eta abiadurak ematen badira mekanikan) soluzio bat eta soilik bat existitzen da printzipioz.

Hori egia bada ere, sistema dinamiko kaotikoetan, sistemaren egitura matematikoak oso arin handitzen du soluzio hurbilen arteko distantzia. Hori gertatzen denean —sistema era zehatzean ebazteko gai izatekotan ere—, oso arin urrunduko dira elkarrengandik bi soluzio, hasieran oso hurbil bazeuden ere. Bestalde, praktikan ez ditugu inoiz doitasun osoarekin ezagutuko hastapen-baldintzak (eta beste parametro batzuk), neurketa guztietan akatsak egiten baitira ezinbestez. Ondorioz, sistema dinamikoa kaotikoa bada, benetako hastapen-baldintzei eta guk neurtutakoei dagozkien soluzioak oso desberdinak izango dira azkenean, eta gure iragarpenak huts egingo du denbora-tarte laburragoa edo luzeagoa igaro ondoren. Kaos deterministaren definizio honi hastapen-baldintzekiko menpekotasun sentikorra deitzen zaio. Tximeleta-efektua ere esaten zaio, teoriaren lehenengo ikertzaileetako bat izan zen Edward N. Lorenz meteorologoaren hitzaldi baten izenburua hauxe izan baitzen: Brasilen tximeleta batek hegoak astintzeak sor dezake tornado bat Texasen?

Adibide bat

Gehienetan sistema dinamikoak ekuazio diferentzialak izaten dira, baina oinarrizko ideia batzuk ulertzeko nahikoa izango da hemen sistema dinamiko erraz bat aztertzea. Gure sistemaren konfigurazio bakoitza deskribatzeko, (x, y) bikote erreal bat erabiliko dugu. Konfigurazio guztien multzoa, fase-espazio deritzona, azalera-unitateko karratua izango da, hau da, 0 ≤ x, y  ≤ 1 dugu. Gure sistema dinamikoa diskretua izango da, denborak balio erreal guztiak eduki beharrean, n = 0, 1, 2... balio osoak bakarrik izango baititu. Hastapen-baldintzak emateko, karratuko (x0, y0) puntu bat aukeratu behar da, eta hortik kalkulatzen dira (x1, y1), (x2, y2)... (x n, y n)... puntuak, bata bestearen ondoan, arau bikoitz hau erabiliz:

• Luzatzea. Hasteko, abszisa horizontala seirekin zatitzen da, eta ordenatu bertikala hirurekin biderkatzen: (xn, yn) →  (x*, y*) = (xn /6, 3yn). Horrela, puntu hurbilen arteko distantzia hirurekin biderkatuko da, norabide bertikalean, pauso bakoitzean, eta hastapen-baldintzen menpekotasun sentikorra —hau da, kaos determinista— sortuko da.

• Tolestea. Hasierako karratuan gera dadin, honela kalkulatzen da hurrengo puntua:

  • 0 ≤ y* < 1 bada, (xn+1, yn+1) = (x*, y*)

  • 1 ≤ y* < 2 bada, (xn+1, yn+1) = (x* + 1/3, y* - 1)

  • 2 ≤ y* < 3 bada, (xn+1, yn+1) = (x* + 2/3, y* - 2)

Okinaren transformazioaren lehenengo bi urratsak

Orea ondo nahasteko —hau da, kaosa sortzeko— okina luzatze-toleste prozesu horretaz baliatzen denez, okinaren transformazio deritzo, eta horren aldaeraren batek eragiten du hainbat sistema dinamikotan, luzatze-prozesuaren bidez kaosa sortzeko. Tolestearen eragina ikusteko, azter dezagun nola higitzen diren fase-espazioko puntu guztiak. Hasieran, karratu osoa betetzen dute, baina lehen urratsaren ondoren aurreko irudiaren erdialdean erakusten diren hiru zerrenda meheagoetan egongo dira denak. Bigarren urratsa egin ondoren, eskuinaldeko bederatzi zerrendetan egongo dira; gero, hogeita zazpi zerrendetan... Limitean, puntu guztiak egongo dira fase-espazioko multzo batean: erakarlea deitzen zaio multzo horri, soluzio guztiak erakartzen baititu. Erakarle hori, kaotikoa izateaz gain, bitxia dela esaten da, dituen propietateak kontuan hartuta:

• Ikuspuntu batetik, erakarlean eta karratuan dagoen puntu-kopurua bera da, bi multzo horietako puntuen artean bana-banako korrespondentzia baitago.

• Beste ikuspuntu batetik, haatik, urrats bakoitzean puntuek betetako azalera birekin zatitzen da; limitean, beraz, azalera zero izango da. Karratuak beste puntu eduki arren, azalera gabekoa da erakarlea.

• Hurrengo irudian erakusten den bezala, erakarlea autoantzekoa da: 36 aldiz txikiagoa den karratu bat handitzean, erakarle osoaren antza bera duen azpimultzo bat lortzen da.

• Erakarlea fraktala da, bere dimentsioa 1 + log 3/log 6 = 1,6131... baita (hau da, zuzen batena baino handiagoa eta karratuarena baino txikiagoa) (mota honetako fraktalei Cantorren multzoak deitzen zaie).

Erakarle kaotiko bitxia eta bi handipen

Aurreko irudian marraztu dira orbita bakar bateko milioi bat puntu: (x0, y0) = (0,1; 0,1) puntutik hasita, (xn, yn) puntuak, n = 100, 101... 1000100 balioetarako. Ezkerrean ikusten da fase-espazio osoa eta alboan ezker-beheko karratuen handipenak: agerian dago autoantzekotasuna, aukeratutako zatietan dauden orbita finituko puntuen kopurua handipenarekin txikitzen bada ere (desberdintasun hori ere desagertzen da n   limitean, jakina). Beste hastapen-baldintza batzuk aukeratuz gero, puntuen kokapen zehatzak (oso) desberdinak izango dira, baina denak egongo dira erakarlean eta itxura guztiz berdina izango da aukera gehienekin.

Hurrengo irudian erakusten da hastapen-baldintzekiko menpekotasun sentikorra. Horretarako, bi soluzio kalkulatu dira: goian aipatutakoa eta (x0, y0) = (0,1; 0,1 + 10-15) hastapen-baldintzei dagokiena. Hasieran bi soluzioen arteko distantzia oso txikia da, 10-15, baina era esponentzialean handitzen da, irudiaren eskalan agerian egon arte (n ≈ 25 baliotik aurrera). Geroago era kaotikoan aldatzen da, baina, jakina, ez da inoiz erakarlearen d ≈ 1,3 diametroa baino handigoa.

Hastapen-baldintza hurbilei dagozkien bi soluzioen arteko distantzia (iturria: http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/kaosa/okina.html )

Kaosaren beste alderdi batzuk

Hemen, kaos deterministaren arloan aztertu den alderdi bat bakarrik aipatu dugu; baina eboluzio-ekuazioen egitura matematikoak bestelako oztopoak jar diezazkioke iragarpenari. Bestaldetik, halako ordena bat ager daiteke kaos deterministarekin batera. Aurreko adibidean, esate baterako, gutxienez badakigu puntu bat azkenean erakarlean, edo oso-oso hurbil, egongo dela, nahiz eta denborak aurrera egin ahala multzo horretako zein puntutan dagoen jakiterik ez egon, kalkulu guztien doitasun finituaren eta kaosaren arteko elkarrekintzaren ondorioz. Badaude, gainera, ordena sakanagoak ere. Adibidez, Mitchell Jay Feigenbaum fisikariak bi zenbaki unibertsal aurkitu zituen 1975ean, sistema dinamiko diskretuen multzo zabal batean: δ = 4,6692... eta α = 2,5029... Geroago, laborategian egindako hainbat esperimentutan aurkitu dira zenbaki horiek, doitasun finituarekin, nahiz eta azpian dauden sistema dinamikoak oso desberdinak izan.

Kaos deterministaren azterketa diziplina anitzekoa da, eta horren inguruan egiten dute lan hainbat matematikarik, fisikarik, ekonomialarik, ekologok, ingeniarik eta bestelako hainbat zientzialarik, jakintza-arlo askotan aztertzen diren fenomeno konplexuen oinarrian kaosa egon baitaiteke. Gainera, teorian egindako garapenei esker, batzuetan kaosa kontrola daiteke eta, ageri denez, garrantzi praktiko handikoa izan daiteke hori.