Aljebra matematikaren atal garrantzitsu bat da, kantitateak, erlazioak eta egiturak ikertzen dituen esparrua, hain zuzen ere. Hala ere, ezin da definizio zehatz eta zeharo itxia eman.

Matematika, tradizionalki, aritmetika (gaur egun, zenbakien teoria deritzo), aljebra, geometria, analisia eta estatistika arloetan sailkatu da, horien arteko mugak erabat argiak ez izan arren. Esate baterako, zenbakien teoria aljebraikoki maneiatzen da edo geometria analitikoa aljebrazko eskuliburuetan garatzen da.

Aljebra hitzaren jatorria

Bagdaden, 820. urtearen inguruan, Al Mamun kalifa arabiarrak Jakinduriaren Etxea sortu zuen. Jakintsu asko ekarri zituzten Bagdadera. Haien artean, Muhammad ibn Musa al Khuarizmi nabarmendu zen. Astronomia eta matematika jorratu zituen, eta aritmetika eta aljebrari buruzko bi liburu idatzi zituen. Lehena zenbaki-sistema indiarrari buruzkoa da. Hasieran, Al Khuarizmi sistema deitzen zitzaion; gero, erabilerarekin, algorismi bilakatu zen, eta, azkenik, algoritmo hitza gelditu zaigu (gaur egun, esanahi zabalagoa ematen zaion arren). Bigarren liburuak, aljebrari buruzkoak, Al jabr wa‘lmuqäbalah zuen izenburua. Hortik dator, hain justu, aljebra hitza. Ez dakigu oso garbi zer esan nahi duten al jabr eta muqäbal hitzek, baina badirudi lehenak (al jabr), “leheneratze” edo “osaketa” esanahia izan dezakeela, eta ekuazio bateko atal batean kentzaile diren gaiak beste atalera batugai gisa eramateko prozesua dela. Bigarren hitza (muqäbal) “laburketa” edo “orekatze” gisa itzuli ahal da, eta ekuazio baten bi ataletan dauden termino berdinen sinplifikatze-prozesua adierazten du. Arabiarrek Espainian izandako eraginarengatik, aljebrari edo leheneratzaile hitzak hezurrak konpontzen zituen medikua izendatzeko erabiltzen ziren. Don Kixote Mantxakoa liburuan islatzen da hori; izan ere, pertsonaia bat, jipoia jaso ondoren, aljebrari baten bila doa hezurrak bere tokian jar diezazkion.

Egitura aljebraikoa

Eragiketa bat edo batzuk definituta dituen multzoa besterik ez da. Egitura aljebraiko baten bereizgarria ez da bere elementuen izaera baizik, eta bere elementuen arteko eragiketak eta eragiketa horien ezaugarriak (propietate matematikoak, jakina).

Eragiketa hauek bi motatakoak izan ahal dira:

• Barneko eragiketak: multzoko edozein bikoteri multzoko beste elementu bat dagokie (edo bi elementuren eragiketaren emaitza beste elementu bat da). Eragiketa bakarra dagoenean, + ikurra erabiltzen da (plus irakurtzen da); bi daudenean, berriz, + eta · ikurrak (bigarrena bider irakurtzen da).

• Kanpoko eragiketak: multzoko elementuek kanpoko beste multzoko elementuekin egiten dituzte eragiketak. Multzo hori K bada, ·K edo +K idazten da (eragiketa adierazteko hautatzen dugun ikurraren arabera, plus edo bider).

Egitura aljebraikorik garrantzitsuenak hauek dira: erditaldeak, taldeak, idealak, eraztunak, gorputzak, moduluak, bektore-espazioak (edo espazio bektorialak) eta aljebrak (Boole, Lie…).

Sailkapena

Aljebraren garapena bide anitzetatik abiatu da, eta ez da erraza bide horiek denak modu sinplean jasotzea. Hala eta guztiz ere, sailkapen hau egin daiteke:

• Oinarrizko aljebra: aritmetikako problemez arduratzen da. Hau da, ikur abstraktuak zenbakientzat bakarrik erabiltzen ditu. Aritmetikarekiko diferentziarik nabariena zenbakiak modu abstraktuan erabiltzea da. Hots, aritmetikan zenbakiak (1, 2, 3…) eta beren eragiketak (+, –, ·, :) erabiltzen dira soilik; aljebran, berriz, zenbakiak berak ere letren bidez adierazi ahal dira (x, y, z…). Horri esker, zenbakiek dituzten propietateak orokortu ahal dira. Adibidez, zenbaki osoen batuketa eta biderketaren trukakortasuna adierazteko, $a+b=b+a$ eta $a\cdot b=b\cdot a$    $\forall a,b\in \mathbb{Z}$  idazten da, non $\forall$ ikurrak “edozein” eta $\in$ ikurrak “barnean dagoela” adierazten duten, hurrenez hurren (ℤ erabiltzen da zenbaki osoen multzoa adierazteko).

• Aljebra abstraktua: egitura aljebraikoen propietateez arduratzen da. Aljebra abstraktuan, beste sailkapen hau egin daiteke:

  • Aljebra lineala: espazio bektorialen propietateak eta haien arteko erlazioak ikertzen ditu.

  • Aljebra unibertsala: egitura aljebraiko guztien propietate komunak ikertzen ditu.

  • Zenbaki aljebraikoen teoria: zenbakien teoriaren esparru bat besterik ez da. Aintzat hartzen ditu koefiziente arrazionalek dituzten polinomioen erroak (zenbaki aljebraiko deritze erro horiei).

  • Geometria aljebraikoa: espazio bektorial euklidearretan geometria analitikoa sortzen da, zeinetan aljebra eta geometria erabat loturik agertzen diren.

Historia

Aljebraren jatorria aritmetikaren jatorrian eta, beraz, zenbakien jatorrian kokatu ahal da. Baina hori, beste alde batetik, gizakien hasierako garapenari lotuta dago. Zenbakien ideia ez zen bat-bateko ideia gisa sortu, pixkanaka-pixkanaka baizik. Hasieran, multzoen ezberdintasunak eta, gero, elementuen antzekotasunak antzemanez, zenbakien nozioak kolektiboki barneratuz joan ziren. Gaur egun, matematikaren historiaz dakiguna idazkeraren garapenari esker dakigu, eta hori Mesopotamia eta Egiptoko zibilizazioetan, orain dela 4.000 urte, gutxienez, hasi zen buztinezko tauletan egindako idazkera kuneiformearekin.

Asko kostatu zen taulak ulertzea. Aurkitutako taula batean, Darioren garaipena Kanbisesen kontra persieraz, elameraz eta babilonieraz kontatuta zegoen, eta horrek aukera eman zuen babiloniera ulertzeko (1870). Zertxobait lehentxeago (1799), Egiptoko taulak ulertzea lortu zen Rosetta harri famatuari esker. Harri hori hiru hizkuntzatan (grekoa, demotikoa eta hieroglifikoa) idatzita zegoen, eta Napoleonek Egipton egindako kanpainan aurkitu zuten. Taulak itzultzen hasi bezain pronto jakin zen oinarri gisa hamar duen zenbaki-sistema bat orain dela 5.000 urte, gutxienez, erabiltzen zela.

Aljebraren garapenak historian zehar hiru etapa izan dituela esan daiteke:

• Fase erretorikoa (edo hasierakoa): non dena hizkuntza arruntarekin adierazten den.

• Fase sinkopatua (edo bitartekoa): non ikur batzuk bakarrik erabiltzen hasten den.

• Fase sinbolikoa (edo bukaerakoa): gaur egungo sinbolizazio osoari dagokiona, non hizkuntza erabat formala eta artifiziala erabiltzen den.

Aljebra-arloko aurrerapauso historiko garrantzitsuenak